吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高三上学期期中考试理科数学试题（解析版）

北师大长春附属学校2021—2022学年度上学期

高三年级期中考试  数学（理）试卷

考试时间：120分钟        满分：150分

           2021年11月15日

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

一、单选题

1．已知集合，，（    ）

A． B． C． D．

2．若命题“，”是假命题，则（    ）

A．的最小值    B．的最小值     C．的最大值    D．无最大值

3．已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命题“x∈A“是命题”x∈B“的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ）

A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5

4．若，则（   ）

A． B． C． D．

5． 已知，且，函数与的图象只能是图中的（    ）

A．B．C．D．

6．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（参考数据：）（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

7．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减

C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减

8．已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（    ）

A． B． C． D．

9．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．设函数则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.

14．函数的单调减区间为________

15．已知函数的图象在点处的切线方程为，则不等式的解集是___________.

16．，若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为___________.

①；

②，其中为自然对数的底数；

③函数恰有三个零点.

三、解答题：（本大题共6小题，18小题10分，17、19、20、21、22小题12分，共80分）

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．

（1）求角；

（2）若是内一点，，，，，求．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，），．

（1）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？

（2）设过点的直线与曲线交于，两点，求弦长度的取值范围．

19．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级；在之间空气质量为二级；在以上空气质量为污染.某市生态环境局从该市年上半年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）从这天的数据中任取天，求这天空气质量达到一级的概率；

（2）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；

（3）以这天的的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级？

20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面夹角的余弦值．

21．已知如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

22．已知函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数的极小值点为，且恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．D  2．A  3．C  4．C  5．B  6．C  7．C  8．B  9．C  10．D  11．C  12．B

13．   14．或   15．   16．①②③

17． 解：（1）方案一：选条件①

，

，

，，又.

方案二：选条件②

又.

方案三：选条件③

整理得

，，又，.

（2），

在中，，

在中，

，

整理得，.

18． 解析：

（1）由，可得：，

而，∴，即，

故曲线的直角坐标方程为，该曲线是椭圆．

（2）将，代入椭圆方程，

可得：，

即：．

由直线参数方程的几何意义，设，，

则，

，

∵，∴，则．

19． （1）记“从这天的数据中任取天，这天空气质量达到一级”为事件，则；

（2）由题意，可知的可能取值有、、、，

，，，.

所以的分布列为：

；

（3）依题意，可知一年中每天空气质量达到一级的概率约为.

设一年中空气质量达到一级的天数为，则，

所以.

所以一年中约有天的空气质量达到一级.

20． （1）证明：由题设知，平面平面，交线为．

因为，平面，所以平面，

因为平面，

所以．

因为M为上异于C，D的点，且为直径，所以．

又，所以平面．

而平面，故平面平面．

（2）以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

当三棱锥体积最大时，M为的中点．

由题设得，

，，

设是平面的法向量，则

即

可取．

是平面的法向量，因此，

由图可知面与面所夹的角为锐角，

所以面与面所夹的角的余弦值是

21． （1）可得，所以，

令，可得，由可得，

所以椭圆的标准方程为，

（2）当斜率为时，直线与都和轴重合，

当斜率不为时，设直线方程为，

代入椭圆方程可得，

设，

有，

，，

所以直线方程为，

直线方程为，

联立两直线方程可得：

，

所以，解得，

故直线与的交点在定直线上.

22． 解：（1）由，函数可化为，所以，当时，所以在点处切线的斜率为.又即切点为，所以切线方程为，即所求切线方程为.

（2）因为，当，即时，函数单调递增，无极值点，不满足条件；当即或时，令，设方程的两根为和，因为为极小值点，所以，又因为，，所以，，所以，所以则.因为，，令，，所以，所以，，当时，，为减函数，所以，所以在区间上单调递减，所以.又恒成立，所以，即实数的取值范围为.