高一数学期中备考专题6.奇偶性与周期性的应用（基础篇）

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6.奇偶性与周期性一．设计目标.本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.二．知识回顾1.函数的单调性定义 2.判断或证明函数单调性的常见方法 3.单调性的常见应用 4. 函数奇偶性定义 5.判断或证明函数奇偶性的常见方法 奇偶性常见应用 三．微专题探究2.1.奇偶性与单调性综合问题.例1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（    ）A． B． C． D．解析∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.故选：A.例2．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．解析：由题得，所以函数是奇函数，因为，所以是上的增函数，所以，所以.故选：A练习1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（    ）A． B．C． D．故选：A.2.2函数的对称性.函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.代数表示: (1).           (2). 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.    一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1).               (2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.2.3.对称性的应用2.3.1对称性与单调性例3.在上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（    ）A．在区间上是增函数，在区间上是减函数B．在区间上是增函数，在区间上是增函数C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．在区间上是减函数，在区间上是减函数  解析：由可得，所以的对称轴为，因为函数是偶函数，所以，由可得：，所以，所以是周期为的周期函数，若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，故选：A.2.3.2 已知对称性求解析式例4.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于A．4 B．5 C．6 D．12解析：因为为奇函数，所以图像关于对称，所以函数的图像关于对称，即 当时，，所以当时，当时，可得 当时，可得 所以的所有根之和为 故选A2.3.3 对称函数的图象性质例5.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则(      )A.            B.           C.            D.  结论1.若的图像关于直线对称.设.例6.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则A.             B.        C.       D.结论2.若,即.一般地，对于练习2.已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．练习3．已知函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．练习2【详解】当时，，则，所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，，，因此，.故选：A.练习3【详解】因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，又因为函数y＝f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2，4]上单调递减.因为，，所以，即，故选：B一、单选题1．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则 的值为（    ）A．4m B．3m C．2m D．m2．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（    ）A． B． C． D．3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．4．已知定义在上的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．二、填空题6．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．7．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为___________.8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是 ________． 参考答案一．练习题1．A解：由，得，所以函数的图像关于点对称，因为，所以的图像可以看成是由的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，所以函数的图像关于点对称，所以函数与的图像交点关于点对称，所以，，设，则，所以，所以，设，则，所以 ，所以，所以， 故选：A2．C由可知的图象关于点对称，又因为的图象也关于点对称，所以两个函数的图象的交点关于点对称，即，，所以，故选：．3．D. 由题设知：时，单调递增，∵是偶函数，∴关于对称，即上单调递减，由对称性可知：，而，∴，即.故选：D.4．D. 因为函数为偶函数，所以函数关于对称，又因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，又因为，所以故选：D5．C.由于是上的奇函数，且，所以，所以是周期为的周期函数.当时，....所以.故选：C.6．∵为偶函数，∴，∴，即，∴，∵在上单调递增，∴，∵，∴，解得或，∴不等式的解集为．故答案为：.7．对任意，由是奇函数得，又，所以，则，所以是以4为周期的函数.由是R上的奇函数得，所以，，故.故答案为：.8．；因为当时，，所以，由可得：，即，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，所以，因为时，，可知在单调递增，所以，解得，所以不等式的解集是，故答案为：.