高一数学期中备考专题7. 函数性质综合应用（压轴篇）

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7函数对称性与周期性及应用抽象函数由于能够更加直接的刻画很多函数共同的性质，当然颇受命题人的喜爱. 命制抽象函数试题的基本原理就是函数的性质：单调性，奇偶性与对称性，周期性. 所以在我们试图解决抽象函数问题时，其基本要求便是熟练的掌握相关结论，其实你会发现，这些东西就已经足够解决多数问题了.相关结论在人教A版必修第一册87页，苏教版必修第一册119页均有涉及，读者可自行查阅，这里重点给出它们的后续应用.一．函数的对称性：函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.性质1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.代数表示: (1).           (2). 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1).               (2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.二．函数的周期性1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.性质3.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1).                  (2).(3).                     (4).3.函数的对称性与周期性性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.性质6. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.证明：由定理2知均为偶函数，则①②，由①得， ③，由②得， ④由③，④得， ⑤，即.令，则，代入⑤得，是周期函数，且为其一个周期.性质7. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.证明：由性质2知与均为奇函数，则① ②，由①得，③，由②得，④，由③，④得，即.令，则. ，即，是周期函数，且为其一个周期.性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.证明：由性质2知为偶函数，则①，由定理1知为奇函数，则②分别由①，②得，故命题得证！性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.证明：由条件知，① ，②由①得，③ ，由②得④由③，④得，即.令，则，是周期函数，且为其一个周期.性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.证明：由与均为偶函数，得 ① ， ②，分别由①，②得③， ④由③，④得⑤ 即.令，则，，即，是周期函数，且为其一个周期.性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.证明：由条件得 ① ， ②由①，②得， ③ ， ④由③，④得，令，则，代入上式得，，则.是周期函数，且为其一个周期.性质12.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.(3).单调性：由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).二．典例分析例1．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ）A． B． C． D．解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.例2．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（  ）A． B． C． D．解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．例3．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（   ）A． B． C． D．解析：因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以故选：D例4．（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（  ）A． B． C．0 D．1解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．三．习题演练1.已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则，(     ).A.              B.                 C.                 D.    2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是A． B． C． D．3．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数C． D．4.（多选题）定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(    )A．的图象关于对称 B．4是的一个周期C．  D． 5.定义在R上的函数满足，，若，则__________，__________．            参考答案1.解析：因为是定义域为的奇函数，结合题意，由前述性质3可得：周期为4.故，再由题意可知：因为，所以.另一方面，，从而，选C.2.解析：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．点评：此题的难点便在于利用类周期性求出解析式3.解析：因为，所以，又，则有，因为是奇函数，所以，可得，即有与，即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数．因为，所以，所以为偶函数．故错误；由是奇函数，则，所以，又，所以，所以选项错误；由得，所以选项错误；因为，，所以，所以，所以选项正确．故选：.4.解析：对A：因为关于对称,有，令，则，的图象关于对称.选项A正确；对B：由题设条件得，令，有，则的图象于对称，因为，有，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，所以，所以，所以4为的一个周期，即，则.选项B不正确；对C：由上知图象关于对称，对称，则令符合题意，而.故C不正确;对D：因为图象关于对称，所以， 故，有.选项D正确.故选：AD5.解析：因为，所以，所以，则，所以是以为周期的周期函数，所以，又，所以，又，所以，即且，由，所以，，，所以.