高一数学期中备考专题1.均值不等式及应用

应用均值不等式的八大策略

一．基本原理

1. 二元基本不等式的几个变形：

（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围

（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

2.n元均值不等式

设均大于零，则记，，

，，

则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.

由均值不等式进一步可得幂平均不等式，设均大于零，实数，则称：

称为的次幂平均.

幂平均不等式：若，则.特别地，取，若，则有

，等号成立当且仅当.

二．典例分析

类型1．和（积）为定

例1.              

解析：，∴

，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值

类型2.分式函数

（1） 型.

对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.

（2） 型.

对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.

（3）型.

形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.

（4）型.

形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.

小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

① ：换元→分离常数→反比例函数模型.

② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.

③ ：同时除以分子：→②的模型.

④ ：分离常数→③的模型.

共同点：让分式的分子变为常数

例2. 求函数的值域

解析：设. 于是问题转化为求

的值域，由对勾函数当时取等号，即.

例3：设，求函数的最小值为_______________

思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：.

下面讨论条件极值

类型3.已知（为常数），求的最值，

例4.已知，求的最小值

解：

例5．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．8 B． C．9 D．

解析：因为，，，所以，

∴，

当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C

类型4.型

注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项.

例6．若实数满足：，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：因为，所以，由基本不等式可得，

故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.

例7．若，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．16 C．49 D．81

解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D

类型5.型

注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项.

例8．已知实数满足，则的最大值为

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.

例9．若实数满足，则的最大值是

A． B． C． D．

解析：,，，

解得，，的最大值是.故选B.

类型6.待定系数法放缩

例10.已知实数满足，求的最小值________.

解析：我们的想法是利用恒等条件来寻找的最小值，那么自然要将放大成平方和的关系来凑出目标函数，于是我们可以将均值不等式改进成：设，来配凑.

解：，令，故的最小值为.

类型7.消元加均值

例11．已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：∵，，

∴，，∵，

∴，∴，∴，∴，故选：C.

类型8.换元

例12．已知正实数，满足，则的最小值是_______．

解析  令，，则，．从而

．

所以的最小值是．

三．习题演练

1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（    ）

A．       B．        C．       D．

【详解】因为正数，满足，

对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确；

对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；

对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于D：因为，所以，即，

所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B

2．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ）

A．3         B．4        C．5         D．6

【详解】，均为正数，因为，

所以

，当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为5.故选：C.

3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ）

A．      B．       C．       D．

【详解】因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.

故选：C

4．已知正实数、满足，则的最小值为（    ）

A．      B．      C．             D．

【详解】因为正实数、满足，

则，

当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.

5．已知，则的最小值是（    ）

A．          B．          C．         D．

【详解】，设，则.

于是，

令，则，

当，即，也即时，取到最小值.故选：C