高一数学期中备考专题2. 分式函数性质及应用

这是一份高一数学期中备考专题2. 分式函数性质及应用，共6页。
分式函数值域问题一．基本原理我们把（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.1．均值不等式与双钩函数方法1.1：型函数的处理对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，再利用双钩函数的性质求解.1.2.型.形如可通过换元将问题转化为，然后进行可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像，再求出值域，或者均值不等式.1.3.：同时除以分子：→2的模型.1.4.，这就转化成了3的类型.2．判别式法：请见例题分析3．导数法二．典例分析例1. 解：令  ，进而可求出值域： 例2.函数的最小值为________.解析：解法1（均值不等式法）：令，则，，所以，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：①，将式①看出关于的一元二次方程，其判别式，解得：或，因为，所以，，从而，故，注意到当时，，所以函数的最小值为3.例3.函数的最大值为________.解析：设，则，，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型③ ：同时除以分子：→②的模型④ ：分离常数→③的模型三．习题演练1．函数的值域（    ）A． B．C． D．【详解】依题意,, 其中的值域为, 故函数的值域为, 故选 D.2．函数的值域是（    ）A． B． C． D．【详解】由可得, 当时, 故, 当且仅当时等号成立, 而恒成立, 故, 故的值域为, 故选: C3．已知函数，定义域为，则函数（    ）A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值3 D．有最大值3【详解】，，，由基本不等式，，当且仅当时，即时等号成立，∴，即，最大值为1.故选：B.4．若函数的最大值为，最小值为，则（    ）A．3 B．2 C．1 D．0.5【详解】由题意，，当时，；当时,, 因为, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 所以, 则在的值域为,当时,, 由基本不等式可知,, 即, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 故, 则在的值域为, 综上所述,在上的值域为, 从而. 故选: C.5．函数的值域是      ．【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解得，所以，，即函数的值域是，故答案为：6．已知函数，则的值域为           ．【详解】，即；，；当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．所以．所以值域为．故答案为: 7．函数的值域是         .【详解】由函数可知。所以，整理得：，当时，，符合；当时，则关于的一元二次方程在有根所以整理得：且解得：，综上得：.8．函数的值域是_____________          .【详解】函数的定义域为，，由于，所以，且，所以且，所以函数的值域为.故答案为：9.求函数 的值域解：设，    ， 10.求函数的值域解：设问题转化为求的值域.由均值不等式当时取等号，即11.函数的最小值为________.解法1（均值不等式法）：由题意，，令，则，，且，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，注意到当时，，所以函数的最小值为.