一轮复习专题2.4 函数的奇偶性和周期性（解析版）教案

这是一份一轮复习专题2.4 函数的奇偶性和周期性（解析版）教案，共18页。教案主要包含了必备知识，题型训练等内容，欢迎下载使用。

04函数奇偶性和周期性
一、必备知识：
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数:
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件．
4．周期函数的概念
(1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ；
(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ．
6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .
7．函数的对称性
如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心.
8．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a (2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a (3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
自查自纠：
1．(1)f(－x)＝f(x)　(2)f(－x)＝－f(x)
2．Y轴　原点
3．原点对称　原点对称　必要不充分
4．(1)非零常数　每一个　f(x＋T)＝f(x)　(2)最小
5．(1)增(减)函数　(2)减(增)函数
6．奇　偶　偶　偶　奇
二、题型训练
题组一
1．函数是_____________函数。（填“奇”、“偶”）
【答案】奇
【解析】由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。
2．判断函数的奇偶性.
【答案】既不是奇函数也不是偶函数
【解析】有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称.
3．下列判断正确的是 ( )
A. 函数是奇函数　　B. 函数是偶函数
C. 函数是偶函数　　D. 函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】A中函数定义域，定义域不对称，不是奇函数，B中定义域，，因此不是偶函数，C中定义域，函数化简为是偶函数，D中函数是偶函数
4．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
5．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex
【答案】D
【解析】
6．下列函数中，奇函数是（ ）
A．　　B．　　C．　D．
【答案】D
【解析】
7．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． 　 B．　　C． 　 D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．
8．若函数f （x） （x∈R）是奇函数，则（ ）
A．函数f （x2）是奇函数 B．函数 [f （x） ]2是奇函数
C．函数f （x）x2是奇函数 D．函数f （x）＋x2是奇函数
【答案】C
【解析】A中是偶函数，B中是偶函数，C中是奇函数，D中是非奇非偶函数
9．已知函数是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断：
①为偶函数；②为非奇非偶函数；
③为奇函数；④ 为偶函数．
其中正确判断的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义，可知，①对；，②错；，③对；，④错。
10．已知函数，，那么（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】A
【解析】由已知，，故，故是奇函数，A正确，B错；，所以既不是奇函数也不是偶函数
11．定义在R上的函数，对都有，则下列命题正确的是（ ）.
A．是偶函数 B．是奇函数　C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】D
【解析】令，则得，令，则有，即，，这说明是奇函数，
12．已知定义域为R的函数不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为定义域为的函数是奇函数，所以，，因为定义域为的函数不是奇函数，所以，，故选C．
题组二
13．函数为奇函数，则实数 ．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，所以，即．
14．若是奇函数，则实数= ．
【答案】0.1
【解析】函数定义域为R，
15．若函数为奇函数，则 ．
【答案】-1
【解析】函数为奇函数，所以，即：，则.
16．已知函数为奇函数，且，则________．
【答案】
【解析】由题意可知函数为奇函数，所以，解得．
17．若函数的图像关于原点对称，则 ．
【答案】
【解析】∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，
∴，∴ 解得，.
18．若函数在定义域上为奇函数，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】利用定义：，化简得 因为所以.，故选C
19．设是定义在上的偶函数，则的值域是（ ）．
A． B． C． D．与有关，不能确定
【答案】A
【解析】函数是偶函数，定义域对称 ，所以值域为
20．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】偶函数的定义域关于原点对称，，即，函数是偶函数，，得，因此函数在区间上的最大值是5，故答案为A.
21．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】A
【解析】由f（x）是偶函数知b＝0，∴g（x）＝ax3＋cx是奇函数．选A．
22．函数，若函数是偶函数，则 .
【答案】1
【解析】因为函数是偶函数，所以，所以.
23．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）
（A）（ ） （B）（） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，即所以，，由得，
24．若函数是奇函数，则实数的值是（ ）
A．-10 B．10 C．-5 D．5
【答案】C
【解析】∵函数是奇函数，
∴当时，，∴．
25．已知函数是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】由于函数是奇函数，，，整理得．
题组三
26．已知函数是偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是偶函数，所以时函数值相等
27．已知函数，若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】，故，
所以，答案选C．
28．已知，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
29．已知函数，若，那么 ．
【答案】-18
【解析】设，易得为奇函数，为偶函数，，，

30．已知函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．
31．已知是上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得．故选D．
32．已知函数是奇函数，且当时，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因函数是奇函数，故
33．已知函数为上的偶函数,当时,,则 , .
【答案】,
【解析】,因为
所以.
34．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】由题意，得，得，；因为函数为奇函数，所以．
35．已知函数是奇函数，当时，，且，则 ．
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，，所以，因此
36．设函数是奇函数，且时，，则 ．
【答案】
【解析】函数是奇函数关于点对称，
37．已知函数为奇函数，则 ．
【答案】-28
【解析】由函数是奇函数，，当时，
38．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则在R上的解析式为 ．
【答案】
【解析】奇函数当时，，设当时，，，又根据奇函数得：，所以函数的解析式是
题组四
39．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则＝( 　)
A.－ B.－ C. D.
【答案】A
【解析】=====－，故选A.
40．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
【答案】B
【解析】∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（-x）=-f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（-2）=-f（2）=-2，f（4）=f（-1）=-f（1）=-1，∴f（3）-f（4）=-2-（-1）=-1．故答案为：B．
41．已知函数,是一个以6为最小正周期的奇函数，则的值为（ ）
A.0 B.6 C.-6 D.不能确定
【答案】A
【解析】根据周期函数定义，则
1,3,5
42．设函数是以3为周期的奇函数，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得．
43．设是定义在上且以5为周期的奇函数，若则的取值范围是( ).
A、 B、 C、（0，3） D、
【答案】B
【解析】由题意，得:,所以，即，，，.
44．周期为4的奇函数在上的解析式为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为函数是周期为4的奇函数，所以，，，故答案选.
45．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且时，，则（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.log27
【答案】C
【解析】由已知，，故选.
46．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 。
【答案】1
【解析】∵是定义在R上的周期为2的函数，∴
47．设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1）时，，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是周期为3的周期函数，所以 选D.
题组五
48．已知定义在R上f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(0)=8,则f(10)＝( )
A．10 B．-6 C．8 D．9
【答案】C
【解析】∵义在R上f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴T=2，∴f(10)＝f(0)=8
49．已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则 .
【答案】3
【解析】由知函数是以４为周期的周期函数，所以．
50．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，则 ．
【答案】1
【解析】由知，是以周期为3的周期函数，所以.
51．定义在R上的函数满足，当时，，当时，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意函数的周期为，所以，
，所以：，所以答案为：B．
52．设f（x）是定义在R上的奇函数,当x≥0时恒有f（x+2）=f（x）,当x∈[0,2]时,f（x）=ex1,则f（2014）+f（-2015）=（ ）
A．1-e B．e-1 C．-1-e D．e+1
【答案】A
【解析】由题意可得 ,故选A．
53．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，根据周期函数定义可知是周期为4的周期函数，
，又根据函数是奇函数，可得=，因为，
所以.故正确答案为选项A.
54．定义在上的函数满足且时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，从而，则由已知有:．
55．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________.
【答案】0.
【解析】由题意，得.
56．已知函数的定义域为，满足，且当时，，
则等于（ ）
A． B． C． D.
【答案】D
【解析】由已知得，，故函数是周期为2的函数，故．
57．定义在上的奇函数满足，且，则_________．
【答案】
【解析】由f（x+3）=-f（x），得f（x+6）=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），即函数f（x）的周期是6．所以f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=-f(0)，f（2015）=f（336×6-1）=f（-1）=-f(1)=-2．因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以根据奇函数的性质可知f（0）=0，所以0+(-2)=-2．
58．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.
【答案】-4
【解析】由于，，故函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，，故答案为-4.
59．定义在R上的奇函数满足则= ．
【答案】－２．
【解析】∵奇函数，∴，∴，以代x，∴∴函数的周期为3，∴f（2014）=f（3×671+1）=f（1）=2，∴f（-1）=-f（1）=-2故答案为：-2．
60．已知奇函数满足，且当时， ，则的值为
【答案】
【解析】由,即周期为4.,考虑到奇函数，故有.
61．已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据知原函数是周期为的奇函数，所以，即：即：，与，解得：或．
62．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则( )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】函数对任意，都有,,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.
63． 已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则 ．
【答案】-5
【解析】因为，所以，由此可得：，所以函数是以6为周期的周期函数，所以．
64．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有，且当∈[－3，－2]时，，则的值是____________．
【答案】
【解析】，的周期为6，．
65．设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________.
【答案】.
【解析】函数f（x）满足，则，，所以，.
66．已知函数满足．当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，从而，故的周期为6，
67．已知函数=， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】时, ,则,即.则时函数的最小正周期为6.所以.
题组六
68．若的图像关于直线和对称，则的一个周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】∵的图像关于直线和直线对称，∴的图像关于直线和直线对称，∴，∴的一个周期为．
69．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为 .
【答案】4
【解析】函数的图象关于点对称，∴是R上的奇函数，，∴，故的周期为4，∴，
∴，
∴.
70．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
71．已知函数上的奇函数,且,当时,，则 __．
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以即，所以函数的周期为,所以，当时，代入，解得：，当时，，所以，所以答案为：.
72．已知奇函数满足，且当时，，则的值为 .
【答案】
【解析】是奇函数，，，则，时，，
，即.故答案为.
73．设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（ ）.
A.偶函数，但不是周期函数 B.偶函数，又是周期函数
C.奇函数，但不是周期函数 D.奇函数，又是周期函数
【答案】D
【解析】∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：D