2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.8　正弦定理、余弦定理

§4.8　正弦定理、余弦定理

考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.三角形解的判断

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝________________＝______________＝________________；

(3)S＝________________(r为三角形的内切圆半径)．

常用结论

在△ABC中，常有以下结论：

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.

(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

(6)三角形中的面积S＝.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)

教材改编题

1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)

A.   B.

C.   D.

2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　)

A．8   B．4

C.   D.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________.

题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.

(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]

(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]

思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．

(1)证明：2a2＝b2＋c2；

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(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．

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题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1　三角形的形状判断

例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

听课记录：______________________________________________________________

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延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．

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思维升华 判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

命题点2　三角形的面积

例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

已知4a＝c，cos C＝.

(1)求sin A的值；

(2)若b＝11，求△ABC的面积．

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思维升华 三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

命题点3　与平面几何有关的问题

例4 (2023·西安模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.

 (1)求边c的长；

(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.

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思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．

跟踪训练2 (1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是______．(填序号)

①若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形；

②若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形；

③若＝＝，则△ABC一定是等边三角形；

④若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形．

(2)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积．

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(3)(2023·成都模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

(ⅰ)若________，求角B的大小；

(ⅱ)求sin A＋sin C的取值范围；

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(ⅲ)如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．

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