2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题17正弦定理余弦定理

这是一份2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题17正弦定理余弦定理，共7页。

1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=a,则B=( )
A.B.
C.D.
2.在△ABC中,若sin2A=sin B·sin C且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=( )
A.1∶1∶4B.1∶1∶2
C.1∶1∶3D.1∶1∶
4.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,则“A=30°”是“B=60°”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,a=,b=1,A=60°,则B=( )
A.30°B.60°
C.30°或150°D.60°或120°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=( )
A.B.C.D.
7.(2023浙江浙北G2联盟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则cs C的值为( )
A.-B.0C.D.
8.(2023浙江温州新力量联盟)已知△ABC的三边分别为,且a2+b2=c2,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A>B,则cs AB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解
C.若cs Acs Bcs C>0,则△ABC为锐角三角形
D.若a-c·cs B=a·cs C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A=60°,a=,则△ABC外接圆的半径等于1
B.若cs2,则此三角形为直角三角形
C.若a=3,b=4,B=,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cs A+cs B
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=,则sin B= ,其外接圆的半径为 .
12.若满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是 .
13.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cs C= ;当BC=1时,△ABC的面积等于 .
14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.
(1)求cs A的值;
(2)若a=5,求b的值.
16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=5,求△ABC的面积.
能力提升
17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
18.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcs A.若λsin A-cs(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为( )
A.-∞,B.-∞,
C.(-∞,2)D.(-∞,2]
19.(多选)(2023浙江强基联盟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cs C=,则下列选项正确的有( )
A.b>aB.∈(1,2)
C.C=2AD.tan C>
20.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为 .
21.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最长边的长为,则△ABC的最短边的长为 .
22.(2023浙江丽水)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,=2,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sin A+sin B).
(1)求B;
(2)当2a+c取最大值时,求△ABC的周长.
优化集训17 正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.D
2.D 解析 由正弦定理知,若sin2A=sinB·sinC,则a2=bc.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等边三角形.故选D.
3.D 解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin30°∶sin30°∶sin120°=1∶1∶.
4.B 解析 当a=1,b=,A=30°时,由正弦定理得,sinB=,所以B=60°或120°,反之,当a=1,b=,B=60°时,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件,故选B.
5.A
6.C 解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,=-,即csC=-.
因为07.A 解析 ∵a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,
∴csC==-.故选A.
8.A 解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,角C为最大角.
因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.
在△ABC中,由余弦定理得csC=>0,所以角C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A.
9.ACD 解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=csx在(0,π)上单调递减,
∴csA对于B,由正弦定理可得,∴sinB=>1,此时△ABC无解,故B错误.
对于C,∵csAcsBcsC>0,角A,B,C为三角形的内角,
∴可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确.
对于D,∵a-c·csB=a·csC,∴由正弦定理可得sinA=sinAcsC+sinCcsB,又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+sinCcsB,
因此sinBcsC+sinCcsB=sinAcsC+sinCcsB⇒sinBcsC=sinAcsC,
∴bcsC=acsC,
∴(b-a)csC=0,
∴b=a或csC=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.
故选ACD.
10.ABD 解析 设△ABC外接圆的半径为R,
根据正弦定理,2R==2,所以R=1,
则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.
cs2,
所以2sinC+2csAsinC=2sinB+2sinC,
所以csAsinC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC,所以sinAcsC=0,
在三角形中,sinA>0,所以csC=0,所以C=,则此三角形为直角三角形,故B正确.
因为a=3,b=4,B=,所以asinB=,所以asinB因为△ABC是锐角三角形,所以0所以0<-BcsA+csB,故D正确.故选ABD.
11. 解析 设△ABC的外接圆的半径为R,由=2R,
∴=2R,
∴sinB=,R=.
12.{1}∪[2,+∞) 解析 ∵满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,
∴如图,AB⊥AC,或AB≥2,
∴AB=1或AB≥2,
∴边AB的取值范围是{1}∪[2,+∞).
13.- 解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,
∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0,
∴csC==-.
当BC=1时,AC=,∴△ABC的面积S=×1×sinC=.
14. 解析 由面积公式得absinC=(a2+b2-c2),
即sinC=,
所以sinC=csC,tanC=.
因为C∈0,,所以C=.
24(bc-a)=btanB变形得到c=.
因为B∈0,,所以tanB>0.
由基本不等式得c=≥2,当且仅当且tanB>0,即tanB=2时,等号成立.
15.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,
可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=bc,
即a2=b2+c2-bc,即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得csA=.
(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sinA=,在△ABC中,由正弦定理可得,所以b==7.
16.解 (1)由题意及正弦定理得,=-,
即2sinAcsB+csBsinC=-sinBcsC,
则2sinAcsB=-(sinBcsC+csBsinC)=-sin(B+C)=-sinA.
∵A∈(0,π),
∴sinA≠0,
∴csB=-,
∵B∈(0,π),
∴B=.
(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accsB,
即13=(a+c)2-2ac-2accs=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=12.
∴S△ABC=acsinB=6sin=3.
能力提升
17.B 解析 ∵0sinC=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin3B=sin(B+2B)=sinBcs2B+csBsin2B=sinB(2cs2B-1)+2sinBcs2B=4cs2BsinB-sinB=4(1-sin2B)sinB-sinB=3sinB-4sin3B,
所以由正弦定理可知∈.故选B.
18.B 解析 因为c-b=2bcsA,所以sinC-sinB=2sinBcsA,
即sinAcsB+csAsinB-sinB=2sinBcsA,sinAcsB-sinB=sinBcsA,sinAcsB-sinBcsA=sinB,sin(A-B)=sinB.
又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈-,所以A-B=B,A=2B.
C=π-A-B=π-3B,所以cs(C-B)=cs(π-4B)=-cs4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.
因为所以λsinA-cs(C-B)<2恒成立,
即λsin2B-(2sin22B-1)<2⇔-2sin22B+λsin2B+1<2⇔2sin22B-λsin2B+1>0恒成立,其中B∈.
因为B∈,所以2B∈,sin2B∈,1.
设t=sin2B,t∈,1,则有2t2-λt+1>0在,1内恒成立,则有λ<2t+对t∈,1恒成立.
又当t∈,1时,2t+,所以λ≤.
故选B.
19.ACD 解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴csC=>0,即,可得b>a,故A正确.
由正弦定理可知,2csC=-1,即2sinAcsC+sinA=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC,
∴sinA=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,
∴C-A=A,即C=2A,故C正确.
由C知,解得∴∴∵=2csA,而∴2csA∈(),故B错误.故选ACD.
20. 解析 由题意易知∴△ABC的面积S=b2sinA=b2·,当且仅当b2=,即b=时,等号成立.
21. 解析 在△ABC中,tan(A+B)==1,即tanC=-1,所以C=135°,所以c=.
因为tanB>tanA,所以角A所对的边最小.
由tanA=可知sinA=.
由正弦定理可知,所以a=sinA·.
22.解 (1)因为A+B+C=π,所以(a-c)sin(A+B)=(a-c)sinC=(a-b)(sinA+sinB),
由正弦定理可得(a-c)c=(a-b)(a+b),整理得到a2+c2-b2=ac,所以csB=.
而B∈(0,π),故B=.
(2)因为=2,所以=2(),所以,所以=4=,
故36=c2+4a2+4accs=c2+4a2+2ac,
整理得到(2a+c)2=36+2ac≤36+,
故2a+c≤4,当且仅当a=,c=2时,等号成立.
故此时b==3,对应的△ABC的周长为3+3.