2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习33正弦定理余弦定理（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习33正弦定理余弦定理（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·黑龙江鹤岗模拟]已知△ABC中，a＝2，b＝2eq \r(3)，B＝eq \f(π,3)，则角A的值是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A＝( )
A．150°B．120°
C．60°D．30°
3．[2024·河南开封模拟]在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝eq \f(2π,3)，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(15\r(3),4)B．eq \f(21\r(3),4)
C．4eq \r(3)D．6eq \r(3)
4．[2024·广东梅州模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2eq \r(3)，C＝60°，a2＋b2＝5ab，则c＝( )
A．2eq \r(2)B．2eq \r(3)
C．4D．4eq \r(2)
5．[2024·北京清华附中模拟]在△ABC中，a＝4eq \r(2)，A＝45°，b＝m，若满足条件的△ABC有两个，则m的可能取值为( )
A．8B．6
C．4D．2
6．[2024·河北保定模拟]在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsAcsB＋bcs2A＝acsA，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7．(素养提升)[2024·江苏无锡模拟]若△ABC中，A＝eq \f(π,3)，a＝2，则△ABC面积的最大值为( )
A．eq \r(3) B．2 C．2eq \r(3) D．4
8．(素养提升)[2024·河南南阳模拟]锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝4a2csA－2accsB，则a＝( )
A．2B．2eq \r(2)
C．eq \r(3)D．1
二、多项选择题
9．[2024·黑龙江双鸭山模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A．若A>B，则sinA>sinB
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2D．若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是3
10．(素养提升)[2024·河北秦皇岛模拟]平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0，2)，B(1，0)，C(4，1)，则( )
A．sinAB．△ABC是锐角三角形
C．△ABC的面积为eq \f(7,2)
D．△ABC的外接圆半径大于2
三、填空题
11．[2024·辽宁沈阳模拟]在△ABC中，AB＝2，BC＝4，AC＝5，则csC＝______________．
12．[2024·湖北武汉模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sinCcsA＝sinB，a2－c2＝1，则b＝________．
13．[2024·江苏南通模拟]△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，B＝60°，△ABC的面积S＝eq \r(3)，则b＝__________．
14．[2023·全国甲卷]在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝eq \r(6)，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
四、解答题
15．[2024·河北保定模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC＋ccsB＝2eq \r(3)sinA．
(1)求△ABC外接圆的面积；
(2)记△ABC内切圆的半径为r，若B＝eq \f(π,3)，b＝2eq \r(3)r，求△ABC的面积．
优生选做题
16．[2024·江西南昌模拟]已知△ABC中，AC＝2，sinA＝tanB，A∈(0，eq \f(π,3)]，则边AB的最小值为( )
A．2B．3
C．2＋eq \r(3)D．eq \f(5,2)
17．[2024·安徽淮北模拟]已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c(sinC－eq \r(3)sinB)＝(a－b)(sinA＋sinB).
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为eq \r(3)，sinB＝1＋csC，点D为边BC的中点，求AD的长．
课后定时检测案33 正弦定理、余弦定理
1．解析：由正弦定理可得：eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，则eq \f(2,sinA)＝eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))，
解得sinA＝eq \f(1,2)，则A＝eq \f(π,6)或A＝eq \f(5π,6)，
因为b>a，所以B>A，所以A＝eq \f(π,6).故选A.
答案：A
2．解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
且0°答案：C
3．解析：在△ABC中，因为AB＝7，BC＝3，C＝eq \f(2π,3)，
由余弦定理可得，AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·csC，
即49＝CA2＋9－6CA×(－eq \f(1,2))，所以CA2＋3CA－40＝0，
解得，CA＝5或－8(舍去)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)CA·CB·sinC＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),4)，故选A.
答案：A
4．解析：因为△ABC的面积为2eq \r(3)，C＝60°，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(\r(3),4)ab＝2eq \r(3)，即ab＝8.
所以c2＝a2＋b2－2abcsC＝a2＋b2－ab＝4ab＝32，
所以c＝4eq \r(2).故选D.
答案：D
5．解析：要使满足条件的△ABC有两个，则需要bsinA答案：B
6．解析：根据正弦定理边角互化得sinAcsAcsB＋sinBcs2A＝sinAcsA，
所以(sinAcsB＋sinBcsA－sinA)csA＝0，
所以[sin (A＋B)－sinA]csA＝0，
所以[sin (π－C)－sinA]csA＝0，即(sinC－sinA)csA＝0，
所以sinC＝sinA或csA＝0，
所以c＝a或A＝eq \f(π,2)，即△ABC的形状是等腰或直角三角形．
故选D.
答案：D
7．解析：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，
即4＝b2＋c2－2bccseq \f(π,3)＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≤4，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA≤eq \f(1,2)×4sineq \f(π,3)＝eq \r(3).故选A.
答案：A
8．解析：由a2＋b2－c2＝4a2csA－2accsB，
得b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝2acsA－ccsB，
由余弦定理，可得bcsC＝2acsA－ccsB，
又由正弦定理，可得sinBcsC＝2sinAcsA－sinCcsB，
所以sinBcsC＋sinCcsB＝sin (B＋C)＝sinA＝2sinAcsA，
得csA＝eq \f(1,2)，又A∈(0，eq \f(π,2))，所以A＝eq \f(π,3)，所以sinA＝eq \f(\r(3),2).
又eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2r＝2，所以a＝eq \r(3).故选C.
答案：C
9．解析：对于A，因为A>B，由大角对大边得a>b，
所以由正弦定理可得sinA>sinB，故A正确；
对于B，由正弦定理得eq \f(3,sin\f(π,6))＝eq \f(4,sinB)，sinB＝eq \f(4,3)sineq \f(π,6)＝eq \f(2,3)，
又b>a，A是锐角，sinB>sineq \f(π,6)，
所以B角可以是锐角或者钝角，所以△ABC有两解，故B正确；
对于C，若△ABC为钝角三角形，若A为钝角，C为锐角，
则由余弦定理csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，此时a2＋b2>c2，故C错误；
对于D，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcsC且C＝eq \f(π,3)，得c2＝a2＋b2－ab，
又c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2ab＋6，所以ab＝6，
又S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)≠3，故D错误．故选AB.
答案：AB
10．解析：c＝|AB|＝eq \r(5)，b＝|AC|＝eq \r(17)，a＝|BC|＝eq \r(10)，
所以c由余弦定理，得csB＝eq \f(5＋10－17,2\r(50))＝－eq \f(\r(2),10)<0，所以角B是钝角，故B错误；
由sin2B＋cs2B＝1，得sinB＝eq \f(7\r(2),10)，△ABC的面积为eq \f(1,2)ac×sinB＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝eq \f(7,2)，故C正确；
设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(\r(17),\f(7\r(2),10))＝eq \f(10\r(17),7\r(2))＝eq \f(5\r(34),7)＝eq \f(1,7)eq \r(850)>eq \f(1,7)eq \r(784)＝eq \f(1,7)×28＝4，R>2，故D正确．故选CD.
答案：CD
11．解析：csC＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(25＋16－4,2×5×4)＝eq \f(37,40).
答案：eq \f(37,40)
12．解析：因为3sinCcsA＝sinB，由正弦定理和余弦定理有
3c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b，整理得b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝1，所以b2＝3，则b＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
13．解析：根据三角形面积公式得S＝eq \r(3)＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2)，解得c＝4，
根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accsB＝12＋42－2×1×4×eq \f(1,2)＝13，解得b＝eq \r(13).
答案：eq \r(13)
14．解析：
如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
方法一 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cs60°＝6，
因为b>0，解得b＝1＋eq \r(3)，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
eq \f(1,2)×2×b×sin60°＝eq \f(1,2)×2×AD×sin30°＋eq \f(1,2)×AD×b×sin30°，
解得AD＝eq \f(\r(3)b,1＋\f(b,2))＝eq \f(2\r(3)（1＋\r(3)）,3＋\r(3))＝2.
方法二 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cs60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋eq \r(3)，
由正弦定理可得，eq \f(\r(6),sin60°)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(2,sinC)，解得sinB＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sinC＝eq \f(\r(2),2)，
因为1＋eq \r(3)>eq \r(6)>eq \r(2)，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
答案：2
15．解析：(1)设△ABC外接圆的半径为R，
因为bcsC＋ccsB＝2eq \r(3)sinA，所以2R(sinBcsC＋sinCcsB)＝2eq \r(3)sinA，
所以2Rsin (B＋C)＝2eq \r(3)sinA，解得R＝eq \r(3)，
所以△ABC外接圆的面积为π×(eq \r(3))2＝3π.
(2)由(1)eq \f(b,sinB)＝2R＝2eq \r(3)，所以b＝3，故r＝eq \f(\r(3),2).
由余弦定理可得a2＋c2－ac＝b2＝9，则(a＋c)2＝9＋3ac.
又S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r，ac＝a＋c＋3，
则eq \f(（a＋c）2－9,3)＝a＋c＋3，所以a＋c－3＝3，即a＋c＝6.
所以△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r＝eq \f(1,2)×9×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9\r(3),4).
16．解析：△ABC中，AC＝2，sinA＝tanB，
则sinAcsB＝sinB，则acsB＝b＝2，
则eq \f(a2＋c2－4,2ac)·a＝2，整理得a2＋c2－4c－4＝0，
又△ABC中，A∈(0，eq \f(π,3)]，则csA＝eq \f(4＋c2－a2,4c)∈[eq \f(1,2)，1)，
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＋c2－a2－2c≥0,4＋c2－a2－4c<0))，又a2＝4c＋4－c2，
代入整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c2－3c≥0,c2－4c<0))，解之得3≤c<4.
故AB的最小值为3.故选B.
答案：B
17．解析：(1)因为c(sinC－eq \r(3)sinB)＝(a－b)(sinA＋sinB)，
所以由正弦定理可得c(c－eq \r(3)b)＝(a－b)(a＋b)，即b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，
由余弦定理可得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,6).
(2)因为sinB＝1＋csC，
所以sinB＝1＋cs (eq \f(5π,6)－B)＝1＋cseq \f(5π,6)csB＋sineq \f(5π,6)sinB＝1－eq \f(\r(3),2)csB＋eq \f(1,2)sinB，
即eq \f(1,2)sinB＋eq \f(\r(3),2)csB＝sin (B＋eq \f(π,3))＝1，
又0所以a＝b，C＝eq \f(2π,3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \r(3)，
所以a＝b＝2，故AC＝b＝2，CD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)a＝1，
故在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cseq \f(2π,3)＝22＋12－2×2×1×(－eq \f(1,2))＝7，则AD＝eq \r(7).