高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.2圆的方程(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.2圆的方程(精练)(原卷版+解析)，共14页。


【题型一 求圆的方程】
1.(2023·全国·高三专题练习已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
3. (2023·青岛高三月考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
4. (2023·济南高三期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6.圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
【题型二 与圆有关的轨迹问题】
1.(2023·青岛高三模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
2.(2023·山东日照高三模拟）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
3. 当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
4. (2023·全国高三模拟）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5. (2023·浙江高三模拟）（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ ）
A．B．
C．D．
6.直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【题型三 与圆有关的最值问题】
1.(2023·全国高三专题练习）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
2.(2023·广东深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
3．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
4.等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3)
C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
【题型四 点与圆】
1.(2023·全国高三专题练习）圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________.
2.(2023·全国·高三专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
3. 已知点在圆的内部，则（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·山东青岛高三月考）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．
（I）求实数的取值范围；
（II）求圆的一般方程；
（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8.2 圆的方程
【题型解读】

【题型一 求圆的方程】
1.(2023·全国·高三专题练习已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案：C
【解析】到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
【解析】由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq \r(－1－02＋2－12)＝eq \r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
3. (2023·青岛高三月考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
答案：B
【解析】设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，
化简得|4a－3b|＝5，①
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，
则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4. (2023·济南高三期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为．
故选：A
6.圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
答案：
【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，
所以可设圆心为，半径为，
由题意知，，
又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，
，
所以，
解得，，
所以所求圆C的方程为．
故答案为：
【题型二 与圆有关的轨迹问题】
1.(2023·青岛高三模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
2.(2023·山东日照高三模拟）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
答案：
【解析】，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
3. 当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案：C
【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又因为P在圆x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.
4. (2023·全国高三模拟）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】圆即，半径
因为，所以
又是的中点，所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
5. (2023·浙江高三模拟）（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】设点C的坐标为 则
对于A：由得，即，故A错误；
对于B：由得，整理得，即，故B正确；
对于C：由得，即，故C正确；
对于D：由得，即，故D正确；
故选：BCD
6.直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．
【题型三 与圆有关的最值问题】
1.(2023·全国高三专题练习）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
答案：B
【解析】∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，
|AB|＝2m(m>0)，
∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，
又C(3,4)，r＝1，
∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
2.(2023·广东深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
答案：D
【解析】设O为坐标原点，P(x，y)，
则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4，
所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，
所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
答案：B
【解析】由x2＋y2－4x－2y－4＝0
得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，
其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．
设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，
则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，
解得k＝±eq \f(3,4)，
所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，
所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).
4.等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3)
C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
答案：A
【解析】设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6.
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
又eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
所以eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2
＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11
≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
【题型四 点与圆】
1.(2023·全国高三专题练习）圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________.
答案：
【解析】设圆心为，由得，
所以，
则半径，
故圆的方程为，
又在圆内，
所以，解得.
故答案为：.
2.(2023·全国·高三专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
答案：C
【解析】由题意，即，
∴圆心到直线的距离为，∴直线与相离．
故选：C．
3. 已知点在圆的内部，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为点在圆的内部，则，
解得．
故选：D．
4. (2023·山东青岛高三月考）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．
（I）求实数的取值范围；
（II）求圆的一般方程；
（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（I）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，
解得，且．
（II）设所求圆的一般方程为，
令得，，
这与是同一个方程，
故，．
令得，，
此方程有一个根为，
代入得出，
所以圆的一般方程为：．
（III）圆过定点和．
证明如下：
圆的方程改写为，
于是有，
解得或，
故过定点和．