2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.4　回归分析（附答单独案解析）

§10.4　回归分析

考试要求　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

知识梳理

相关关系与回归方程

(1)相关关系的分类

①正相关

在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为正相关．

②负相关

在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(2)线性相关关系

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做________________．

(3)回归方程

①最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的________________________________的方法叫做最小二乘法．

②回归方程

方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．

(4)回归分析

①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

②样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中________________称为样本点的中心．

③相关系数

当r>0时，表明两个变量________________；

当r<0时，表明两个变量________________．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．

常用结论

1．回归直线过样本点的中心(，)．

2．求时，常用公式＝.

3．回归分析是基于样本观测数据进行估计或推断的，得出的结论可能犯错误．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相关关系是一种非确定性关系．(　　)

(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　)

(3)回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　)

(4)相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强．(　　)

教材改编题

1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．

则下列操作顺序正确的是(　　)

A．①②④③   B．③②④①

C．②③①④   D．②④③①

2．对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)

A．－0.82   B．0.78

C．－0.69   D．0.87

3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

由表中数据得到线性回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)

A．68度   B．52度

C．12度   D．28度

题型一　数据的相关性

例1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：

根据表格中的数据求得线性回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)

A.>0，>0   B.>0，<0

C.<0，>0   D.<0，<0

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(2)对两个具有线性相关关系的变量x，y进行回归分析，得到相关系数r1＝0.899 5，对两个具有线性相关关系的变量u，v进行回归分析，得到相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　)

A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性更强

B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性更强

C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性更强

D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性更强

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思维升华 判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．

(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强．

(3)线性回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．

跟踪训练1 (1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计数据如表所示：

根据统计数据，则利润中位数(　　)

A．是16，x与y有正相关关系

B．是17，x与y有正相关关系

C．是17，x与y有负相关关系

D．是18，x与y有负相关关系

(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　)

A．r1>r2   B．r1＝r2

C．r1<r2   D．不确定

题型二　回归分析

命题点1　线性回归模型

例2 (2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：

(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；

(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的线性回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？

参考公式及数据：①＝，

＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.

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思维升华 求线性回归方程的步骤

跟踪训练2 (2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：

(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；

(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于外卖份数x的线性回归方程；

(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．

参考数据与公式：＝145，iyi＝1 380，

＝＝，

＝－.

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题型三　残差分析

例3 (1)下列说法中正确的是(　　)

①在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位；

②在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25；

③在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；

④若两个变量的相关指数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．

A．①③   B．①②④

C．①④   D．②③④

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(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：

根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则m＝________.

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思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法

(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．

(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．

跟踪训练3 (1)下列命题是真命题的为(　　)

A．回归直线＝x＋一定不过样本点

B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量的线性相关程度越弱

C．在回归分析中，相关指数R2＝0.80的模型比相关指数R2＝0.98的模型拟合的效果要好

D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

(2)女高中生的体重y(kg)关于身高x(cm)的线性回归方程是＝0.75x－75.5，则此方程在样本点(160,46)处的残差是________．