新高考数学一轮复习导学案第31讲 正弦定理、余弦定理（2份打包，原卷版+解析版）

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1、正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2、余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3、三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积．
【解析】
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
变形可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
1、 在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：A
【解析】设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝eq \r(13)，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
2、 已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正确
【答案】：C
【解析】∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(15),\r(5))·sin 30°＝eq \f(\r(3),2).∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5).
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝eq \r(5).
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．2
【答案】：B
【解析】因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.所以BC＝eq \r(3).
4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
考向一 运用正余弦定理解三角形
例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值.
【解析】（1），，成等差数列，
，
由正弦定理，，
中，，，
，
又，，
，.
（2），，
，
.
变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 只有一解；故A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有两解（ SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ），故B正确；
对于C，因 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有两解（ SKIPIF 1 < 0 ，或， SKIPIF 1 < 0 ），故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 只有一解，故D错误；
故选：BC
变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【小问1详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
结合正弦定理，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．下面四个结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径是4
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定是钝角三角形
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C为钝角， SKIPIF 1 < 0 一定是钝角三角形，故C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
【答案】 C
【解析】 因为 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,c)，所以 eq \f(a,b)＝ eq \f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(bc,2bc)＝ eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．
变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
【答案】 D
【解析】 因为c－a cs B＝(2a－b)cs A，所以由正弦定理，得sin C－sin A cs B＝2sin A cs A－sin B cs A.又C＝π－(A＋B)，所以sin A cs B＋cs A sin B－sin A cs B＝2sin A cs A－sin B·cs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，所以A＝ eq \f(π,2)或B＝A，所以△ABC为等腰或直角三角形．
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积、周长
例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】
【小问1详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为A，B，C是三角形的内角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为 eq \f(a2,3sin A).
(1) 求sin B sin C的值；
(2) 若6cs B cs C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【解析】 (1) 由题意，得 eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(a2,3sin A)，
即 eq \f(1,2)c sin B＝ eq \f(a,3sin A).
由正弦定理，得 eq \f(1,2)sin C sin B＝ eq \f(sin A,3sin A)，
故sin B sin C＝ eq \f(2,3).
(2) 由题意及(1)，得cs B cs C－sin B sin C＝－ eq \f(1,2)，
即cs (B＋C)＝－ eq \f(1,2)，
所以B＋C＝ eq \f(2π,3)，故A＝ eq \f(π,3).
由题意，得 eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(a2,3sin A)，则bc＝8.
由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9，
则b＋c＝ eq \r(33)，
故△ABC的周长为3＋ eq \r(33).
变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋ eq \r(3)cs A＝0，a＝2 eq \r(7)，b＝2.
(1) 求c的值；
(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【解析】 (1) 由sin A＋ eq \r(3)cs A＝0，得tan A＝－ eq \r(3)，所以A＝ eq \f(2π,3).
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A，
即28＝4＋c2－4c cs eq \f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝4（负值舍去）.
(2) 由题设，得∠CAD＝ eq \f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝ eq \f(π,6)，
所以 eq \f(S△ABD,S△ACD)＝ eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.
又S△ABC＝ eq \f(1,2)×4×2×sin eq \f(2π,3)＝2 eq \r(3)，
所以△ABD的面积为 eq \r(3).
变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角B；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】
【小问1详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】由正弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
1、.（2022·山东泰安·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，故充分性成立.
△ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，若 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 不成立；
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”是“△ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形”的充分不必要条件.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状为（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由二倍角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理边角互化可得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
故选：B
3、（2022·山东莱西·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设角A,B,C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 为锐角，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2022年重庆市高三模拟试卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】
【小问1详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
正弦定
理的常
见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A).
余弦定理的常见变形
(1)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
(2)cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
(3)cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).