高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理当堂达标检测题

第六章6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

A级 必备知识基础练

1.[探究点一](x+2)n的展开式共有12项,则n=(　　)

A.9 B.10 C.11 D.8

2.[探究点二]在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是(　　)

A.-5 B.5 C.-10 D.10

3.[探究点二]使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

4.[探究点一](多选题)对于+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项

5.[探究点二]若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　　.(用数字填写答案) 

6.[探究点一]若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b=　　　　　. 

7.[探究点二]已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示).

8.[探究点三]求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.

B级 关键能力提升练

9.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　)

A.-297 B.-252 C.297 D.207

10.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　)

A.3 B.6 C.9 D.21

11.(x2+2)-15的展开式中的常数项是(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

12.-2+4-8+…+(-2)n=(　　)

A.(-1)n-1 B.(-1)n

C.3n D.3n-1

13.在3x2-n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

14.已知在x2-n的展开式中,第9项为常数项,则:

(1)n的值为　　　　　; 

(2)含x的整数次幂的项有　　　　　个. 

15.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 

16.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 

17.已知n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明:展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有的有理项.

C级 学科素养创新练

18.已知xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.

(1)求含x的整数次幂的项;

(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.

参考答案

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

1.C　∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11.

2.D　(1-x)5中x3的系数为-=-10,-(1-x)6中x3的系数为-×(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10.

3.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.

4.AD　+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD.

5.　二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,故a=.

6.44　∵(1+)4=1+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16,

∴a=28,b=16,

∴a+b=28+16=44.

7.解∵,

∴n=17,Tk+1=2k.

令=1,得k=9.

∴T10=x4×29x-3=×29x.

故x的系数为29.

8.证明∵1+2+22+…+-1=32n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,

∴原式能被31整除.

9.D　(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.

10.B　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,

∴a2=6.

11.D　展开式的通项为Tk+1=·(-1)k=(-1)k.

令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.

故(x2+2)·的展开式中的常数项是

(-1)4×+2×(-1)5×=3.

12.A　∵-2+4-8+…+(-2)n=1-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1.

13.B　Tk+1=(3x2)n-k-k=3n-k·-kx2n-5k,令2n-5k=0,

∴n=k.

∴正整数n的最小值为5.

14.(1)10　(2)6　二项展开式的通项为Tk+1=x2n-k·-k=(-1)kn-k.

(1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-k=0,

解得n=10.

(2)要使20-k为整数,则k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的项有6个,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

15.-121　展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

16.±　(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数为cos2θ,

x+4的展开式中x3的系数为.

由题意可知cos2θ=,

∴cos2θ=,

∴cosθ=±.

17.(1)证明由题意得2=1+,

即n2-9n+8=0,

∴n=8(n=1舍去).

∴Tk+1=)8-k·=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).

若Tk+1是常数项,则=0,

即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不可能成立,

∴展开式中没有常数项.

(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.

18.解(1)xn的展开式的前三项的二项式系数之和为=37,解得n=8(n=-9舍去).

所以xn=x8的展开式的通项为Tk+1=(x)8-kk=.

又0≤k≤8,k∈Z,所以当k=0,6时,x的指数为整数.

所以含x的整数次幂的项有x12,28x.

(2)由(1)知,展开式共有9项,展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.

证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为=70,展开式第4项的二项式系数为,展开式第6项的二项式系数为,且=56<70.

故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.