2023年湖北省孝感市汉川市官备塘中学中考数学适应性试卷（一）（含解析）

2023年湖北省孝感市汉川市官备塘中学中考数学适应性试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，，射线交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.下列说法正确的是(    )

A. 如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生
B. “任意画一个三角形．其内角和为”是随机事件
C. 抛掷一枚均匀的硬币，前次都正面朝上，第次正面朝上的概率是
D. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次可投中次

4.如图是一个几何体的三视图图中尺寸单位：，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：，，，，，，单位：，这组数据的平均数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.下列各式变形中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、重合的一个动点，连接、，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，在平面直角坐标系中，，以点为直角顶点作等腰直角三角形，双曲线在第一象限内的图象经过点，设直线的解析式为，当时，的取值范围是(    )

A.
B. 或
C.
D. 或

10.如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：∽；；；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.当______时，分式的值为．

12.分解因式： ______ ．

13.观察下列各式及其展开式：
，
，
，
，

请你猜想的展开式第三项的系数是______ ．

14.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是和小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上，则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域含边的概率是______．

15.如图，在等边中，为的一条四等分线，则 ______ ．

16.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示下列说法正确的是______ 填正确结论的序号；；；；当时，．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程组．

18.本小题分
图、图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
如图，点在小正方形的顶点上，在图中作出点关于直线的对称点，连接、、、，并直接写出四边形的周长；
在图中画出一个以线段为对角线，面积为的矩形，且点和点均在小正方形的顶点上．

19.本小题分

如图，已知平行四边形中，平分且交于点，，且交于点．
求证：≌；
若，求的大小．

20.本小题分
“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______；
请补全条形统计图；
若该中学共有学生人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．

21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，且．

求该反比例函数和一次函数的解析式；
求点的坐标．

22.本小题分
”暖手宝，给您最亲切最安全的温暖”，现在市场上流行各种品牌的暖手宝，深受广大消费者喜爱，元旦期同，某商统计划购进甲、乙两种品牌的暖手宝，已知购进甲品牌件和乙品牌件共需元；购进甲品牌件和乙品牌件共需元．
求甲、乙两种品牌暖手宝每件的进价分别是多少元？
商场决定甲品牌以每件元出售，乙品牌以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种品牌共件，且甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．

23.本小题分
如图，，是的弦，平分过点作的切线交的延长线于点，连接延长交于点，交于点，连接，．
求证：是的切线；
若，求的长．

24.本小题分
已知抛物线与轴相交于点，顶点为直线分别与轴，轴相交于，两点，并且与直线相交于点．
试用含的代数式分别表示点与的坐标；
如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连接，求的值和四边形的面积；
在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
和是对顶角，
，
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补，可求出的度数，然后根据对顶角相等，即可求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，掌握：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、如果一件事不是不可能发生，那么它可能发生，故不符合题意；
B、“任意画一个三角形．其内角和为”是不可能事件，故不符合题意；
C、抛掷一枚均匀的硬币，前次都正面朝上，第次正面朝上的概率是，故符合题意；
D、已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次不一定投中次，故不符合题意；
故选：．
分别根据随机事件以及概率公式分别分析得出即可．
本题考查的是概率的意义、概率公式和随机事件的定义，熟记它们的概念是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为，
故表面积．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是根据圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了算术平均数和众数的定义，属基础题，难度不大．
根据众数定义确定众数；应用算术平均数计算这组数据的平均数．
【解答】
解：平均数为：，
数据出现了次，最多，
故众数为，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数的乘方运算法则判定选项；根据二次根式的性质判断选项；根据分式的运算法则判定选项；利用配方法判断选项．
本题考查二次根式的性质，同底数的乘方运算，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，同底数的乘方运算，分式的混合运算法则，配方法是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，，由∽，得，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解；连接，，

，是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
，，
≌，
，
，
故选：．
连接，，根据切线的性质可得，再根据四边形的内角和可先求出的度数，然后利用证明≌，从而可得得，最后根据圆周角定理即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：

为等腰直角三角形，
，．
又，
．
点的坐标为，
点的坐标．
将代入反比例函数的解析式得：，
．

将，代入直线的解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为．
将与，
联立得；，
解得：，
当时，双曲线位于直线线的上方，
的取值范围是：或．
故选：．
由是等腰三角形，先求的点的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线的解析式，然后将将与联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出的取值范围．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数的角度看，就是双曲线位于直线上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度来看就是求不等式的解集．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的性质及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
正确．只要证明，即可；
正确．由，推出∽，推出，由，推出，即；
正确．只要证明垂直平分，即可证明；
正确．设，，则，由∽，有，即，可得．
【解答】
解：如图，过作交于，

四边形是矩形，
，，，
于点，
，，
∽，故正确；
，
∽，
，
，
，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
于点，，
，
垂直平分，
，故正确；
设，，则，
，，
则，又，
由∽，有，即，
故正确；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用平方差公式化简，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法、十字相乘法因式分解，正确运用乘法公式化简是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：




依据规律可得到：
第三项的系数为，
第三项的系数为，
第三项的系数为，

第三项的系数为：．
故答案为：．
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数．
本题考查了完全平方公式，各项是按的降幂排列的，它的两端都是由数字组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域含边线的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】
解：

大正方形的边长为：，
总面积为，
阴影区域的边长为，
面积为；
故飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作，过点作，
是等边，
，，
为的一条四等分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
在中，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作，过点作，根据等腰三角形的性质和三角形全等可分别求出，即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
．
抛物线交轴的正半轴，
．
，
、异号．
．
故正确．
由抛物线的对称性可知当时，，即，故错误；
，
由抛物线的对称性可知当时，，即，故正确，
，
即，故正确，
由函数图象可知：当时，或错误．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

17.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

18.【答案】解：如图所示：四边形即为所求，它的周长为：；

如图所示：四边形即为所求． 

【解析】直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
本题主要考查了轴对称变换以及矩形的性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：平分，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，，得出，证出，由证明≌即可；
由得，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

20.【答案】   

【解析】解：了解很少的有人，占，
接受问卷调查的学生共有：人；
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：；
故答案为：，；

；
补全条形统计图得：


根据题意得：人，
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人．
由了解很少的有人，占，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
由可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：过点作轴于，

的坐标为，的坐标为，
，．
，
．
．
．
把代入，得．
反比例函数表达式为．
又点，在直线上，
．
．
一次函数的表达式为．
由题意，得方程组为．
或．
，
． 

【解析】过点作轴于，根据、的坐标求出，，已知，可求出的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
将反比例函数和一次函数的解析式联立，解方程组即可求得点的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，待定系数法求函数的解析式，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．

22.【答案】解：设甲种品牌暖手宝每件的进价是元，乙种品牌暖手宝每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种品牌暖手宝每件的进价是元，乙种品牌暖手宝每件的进价是元；
设购进甲种品牌件，则购进乙种品牌件，
由题意得：，
解得：，
设获利为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，，
答：获利最大的进货方案是购进甲种品牌件，乙种品牌件，最大利润是元． 

【解析】设甲种品牌暖手宝每件的进价是元，乙种品牌暖手宝每件的进价是元，根据购进甲品牌件和乙品牌件共需元；购进甲品牌件和乙品牌件共需元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进甲品牌件，则购进乙品牌件，根据甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的倍，列出一元一次不等式，解得，再设获利为元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程：找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．

23.【答案】证明：如图，连接．
为圆的切线
．
平分，
．
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线；
，
，
，

，
是直径，
，
，
，
在中，
，，
，
． 

【解析】欲证明是的切线，只要证明，由≌即可解决问题．
先证明，在中利用度性质以及勾股定理即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角，属于中考常考题型．

24.【答案】解：，；

由题意得点与点关于轴对称，
．
将的坐标代入得：
，
不合题意，舍去，．
，
点到轴的距离为．
，，
直线的解析式为，它与轴的交点为
点到轴的距离为．
；

存在，理由如下：
当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则，
则把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：，
解得不舍题意，舍去，，
则；
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
则，．
则与关于原点对称，
则；
将点坐标代入抛物线解析式得：，
解得不合题意，舍去，，
则
故存在这样的点或，能使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出的坐标为由于抛物线过点，因此的坐标是根据，的坐标，用待定系数法可得出直线的解析式为直线和联立方程组即可求出的坐标为．
根据折叠的性质不难得出与正好关于轴对称，因此的坐标为由于在抛物线上，因此将的坐标代入抛物线的解析式中即可得出的值．也就能确定，的坐标．求四边形的面积，可分成和两部分来求．已经求得了，，的坐标，可求出的长以及，到轴的距离．也就能求出和的面积，进而可求出四边形的面积．
本题可分两种情况进行讨论：
当在轴左侧时，如果使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，那么需要满足的条件是平行且相等于，也就是说，如果点向上平移个单位即后得到的点就是点．然后将此时的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点，如果能求出的值，那么即可求出此时的坐标．
当在轴右侧时，需要满足的条件是与应互相平分平行四边形的对角线互相平分，那么必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时的坐标，然后代入抛物线的解析式中按的方法求解即可．
本题着重考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．