湖北省孝感市汉川市实验中学2023届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份湖北省孝感市汉川市实验中学2023届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了考试时间120分钟等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．
3．考试时间120分钟．
一、选择题
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：A．不是整式方程，故它不是一元二次方程，此项不符合题意；
B．将变形得到，故它是一元二次方程，此项符合题意；
C．在中未知数x最高次数是3，不是2次，故它不是一元二次方程，此项不符合题意；
D．在中有两个未知数，故它不一元二次方程，此项不符合题意．
故选：B．
2. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
详解】解：
故选：C．
3. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=28，
即
故选：B.
4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D. 顶点坐标为
【答案】C
解析：解：∵，
∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标为，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
5. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是，
故选：C．
6. 如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A. 4B. 2C. 6D. 8
【答案】D
解析：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接．
由题意可知，，
∵
∴，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形的面积，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故选D．
7. 如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
8. 如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
解析：解：∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间．
∴当时，，即，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∵
∴，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，所以③正确；
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线与直线有两个公共点，
∴一元二次方程有两个实数根，所以④错误．
故选A．
二、填空题
9. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为__________．
【答案】1
解析：解：∴一元二次方程有一个根为1，
∴，
，
故答案为：1．
10. 设m、n分别为方程的两个实数根，则__________．
【答案】
解析：解：∵ ，分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案：．
11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程__________．
【答案】
解析：解：由题意知，，
故答案为：．
12. 若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为__________．
【答案】
解析：解：根据题意得，
解得．
故答案为．
13. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为__________．
【答案】
解析：解：∵二次函数中，，
∴函数图象开口向下，对称轴是直线，
∴关于直线的对称点是，当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 二次函数的部分对应值如表：
利用二次函数的图象可知，当函数值时，x的取值范围是__________．
【答案】
解析：解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线，
∴顶点坐标为（1，−4），
∴ ，开口向上，
∴根据抛物线的对称性知：与x轴交于 、（3，0）两点，
则当函数值时，x的取值范围是： ．
故答案为：．
15. 抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边）．与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上找到一点Q，使得Q点到A点与C点的距离之和最短，则点Q的坐标是__________．
【答案】
解析：解：如图，令 则
即
解得：
∴
令 则
∴
而抛物线的对称轴为直线
连接 交对称轴于
则 此时最短，
设为
∴
解得：
∴直线为
当时，
∴
故答案为：
16. 如图1，在矩形中，，点E和F同时从点A出发，点E以的速度沿的方向运动，点F以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2，图象经过点，则n的值为__________．
【答案】
解析：解：由图2可知，当点运动到点时，
，即，
当点和点相遇时，即到达点时，运动了6秒，即，
解得：，
当时，如图，，
∴；
当时，点在上，点在上，如图，
此时，
∴；
解得，或（舍）．
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【小问1】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
；
【小问2】
解：
，
或，
解得．
18. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【小问1】
解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得
【小问2】
∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
19. 如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分如图2，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．
（1）按图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只竹筏径直向桥驶来，当竹筏驶到桥拱下方时，桥下水位刚好在处，有名身高的工人站立在离O点处的竹筏上清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设竹筏与水面齐平）．
【答案】（1）
（2）工人不会碰到桥拱，因为当时， ，所以工人不会碰到桥拱
【小问1】
解：∵桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是，
∴抛物线对称轴为即，顶点为
∴设抛物线的解析式为
代入，得：
解得
即；
【小问2】
解：根据题意，将代入（1）的解析式
得，
∵
他的头顶不会触碰到桥拱．
20. 已知二次函数．
（1）将二次函数的表达式化为的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若，则x的取值范围是 ；
（4）当时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）或；
（4）．
【小问1】
解：，
故答案为：；
【小问2】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴这个二次函数的图象过点，，，，，
函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：由（2）可知函数图象过点，，
结合函数图象可得，当时，x的取值范围是：或，
故答案为：或；
【小问4】
解：当时，，
∵的顶点坐标为，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
21. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度70米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米．
（1） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏面积为324平方米，求栅栏的长．
【答案】（1）
（2）18米
【小问1】
解：由题意，米，
故答案为：；
【小问2】
解：根据题意，得： ，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：栅栏的长为18米．
22. 如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
（2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
（3）若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【小问1】
解：函数的图像如下：
抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入得：，
解得；
故答案为：；
【小问2】
解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得；
故答案为：4；
【小问3】
解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得．
23. 某工厂研发生产某种产品，成本为4万元/吨，每天最多能生产20吨．产品当日出厂价格y（万元/吨）与当日订购产品数量x（吨）之间的关系如图所示：
（1）写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设工厂第一个月单日所获利润w（万元）．
①求w（万元）与x（吨）的函数关系式；
②为响应国家乡村振兴政策，工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会，试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？
【答案】（1）
（2）①；②工厂这次为乡村振兴最多捐赠20万元
小问1】
解：当时，设函数关系式为：，
把 代入上式，得 ，
解得：
∴；
当 时， ，
综上所述：y与x的函数关系式为
【小问2】
解：①由题意得： ，
∴w（万元）与x（吨）的函数关系式为w= ；
②当 时， ，
∵，
∴当 时，w最大值为；
当时，w=x，
∴当时，w有最大值20，
∵．
∴工厂这次为乡村振兴最多捐赠20万元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当t＝时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为
（3）存在，M(，)
【小问1】
解：将点A（4，0），点B（-1，0）代入，得
解得，，
∴二次函数的解析式为：．
【小问2】
解：由（1）得：抛物线表达式为，当时，，
即C（0，4），
∴，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
如图所示，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴
∴，
即H（4-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴
＝
＝
当x=时，的面积有最小值，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，AB＝5，
∴，
∴当时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为；
【小问3】
存在．理由如下：
解：假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∵，
∴点M的坐标为（4-2t，5-t），
∵点M在抛物线上，
∴，
，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．0
1
2
3
4
5
12
5
0
0
5
12