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2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷
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这是一份2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷，共21页。试卷主要包含了细心填一填，试试自己的身手！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分)
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x+＝2
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7
C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
D．打开电视，正在播放广告
3．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（ ）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
4．（3分）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
5．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR（或者I＝），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
9．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0； ②4a+2b+c＜0； ③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④⑤
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
12．（3分）五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形图案．现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ．
13．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为 ．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣的顶点坐标是 ．
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△OCB旋转180°，使点B落在点B1处，那么点B1和B的距离是 cm．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 ．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分。解答写在答题卡上）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．
19．（9分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，黄球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得22分，问小聪有哪几种摸法？
20．（9分）已知直线y＝﹣x+m+1与双曲线y＝在第一象限交于点A，B，连接OA，过点A作AC⊥x轴于点C，若S△AOC＝3．
（1）求两个函数解析式；
（2）求直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围．
21．（9分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
22．（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若+2x1+x2+k＝4，试求k的值．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A；
（2）若∠DCE＝30°，DE＝2．求：
①AB的长；
②的长．
24．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）．
（1）则抛物线的解析式为 ；
（2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m．
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值．
2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷
（参考答案）
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分)
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x+＝2
【解答】解：A、x2＝x是一元二次方程，符合题意；
B、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；
C、（x﹣1）x＝x2是一元一次方程，不符合题意；
D、x+＝2不是整式方程，不符合题意，
故选：A．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7
C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
D．打开电视，正在播放广告
【解答】解：A、一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7，是必然事件，故B符合题意；
C、从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故C不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（ ）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
【解答】解：∵∠BAC＝150°，弧BC长为50πcm，
∴＝50π，
∴AB＝60cm
故选：B．
4．（3分）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．
故选：D．
5．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR（或者I＝），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I＝，I与R成反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；
当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，
故选：A．
6．（3分）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，
积
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
所以在该游戏中甲获胜的概率是 ＝．
乙获胜的概率为＝．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
8．（3分）如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【解答】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝3，
又∵OC＝OD，AC＝BD，
∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝3，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×3＝12．
故选：A．
9．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
【解答】解：设⊙O的半径为r，
解一元一次方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝4，x2＝﹣1，
∵⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴r＝4，
∵圆心O到直线l的距离d＝6，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0； ②4a+2b+c＜0； ③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以②错误；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以③正确；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝，
∴当m时，a+b+c＞am2+bm+c，
∵b＝﹣a，
∴﹣b+＞am2+bm，即b＞m（am+b）（其中m），所以⑤正确．
故选：D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ﹣6 ．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
去括号，得x2+3x﹣2x﹣6＝0，
合并，得x2+x﹣6＝0，
所以常数项是﹣6．
故答案为：﹣6．
12．（3分）五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形图案．现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ．
【解答】解：圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形中，中心对称图形有圆，矩形3个；
则P（中心对称图形）＝．
故答案为：．
13．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为 24π ．
【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴AB＝5，
∵Rt△ABC沿边BC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，
所以所得到的几何体的全面积＝π×32+×2π×3×5＝24π．
故答案为：24π．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣的顶点坐标是 （3，2） ．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3x﹣＝﹣（x﹣3）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△OCB旋转180°，使点B落在点B1处，那么点B1和B的距离是 2 cm．
【解答】解：∵AC＝BC＝2cm，O为AC的中点，
∴OC＝2×＝1cm，
根据勾股定理，OB＝＝，
∴BB1＝2OB＝2（cm）．
故答案为：2．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 6 ．
【解答】解：设D点坐标为（a，），
∵点D为对角线OB的中点，
∴B（2a，），
∵四边形ABCO为矩形，
∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标为，
∴E（2a，），F（，），
∵四边形BEDF的面积＝S△DBF+S△BED，
∴（2a﹣）•（﹣）+（2a﹣a）•（﹣）＝9，
∴k＝6．
故答案为：6．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分。解答写在答题卡上）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1如图所示；
（2）∵，，
∴线段BC扫过的图形的面积＝＝2π．
19．（9分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，黄球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得22分，问小聪有哪几种摸法？
【解答】解：（1）列表如下：
红1
红2
蓝
黄
红1
（红1，红2）
（红1，蓝）
（红1，黄 ）
红2
（红2，红1）
（红2，蓝）
（红2，黄）
蓝
（蓝，红1）
（蓝，红2）
（蓝，黄）
黄
（黄，红1）
（黄，红2）
（黄，蓝）
共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，
∴两次摸到都是红球的概率为＝；
（2）设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6﹣x﹣y）次，
由题意得5x+3y+（6﹣x﹣y）＝22，
即2x+y＝8，
∴y＝8﹣2x，
∵x、y、6﹣x﹣y均为自然数，6﹣x﹣y＝6﹣x﹣8+2x＝x﹣2≥0，8﹣2x≥0，
∴2≤x≤4，
∴当x＝2时，y＝4，6﹣x﹣y＝0；
当x＝3时，y＝2，6﹣x﹣y＝1；
当x＝4时，y＝0，6﹣x﹣y＝2．
综上：小聪共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为2次、4次、0次或3次、2次、1次或4次、0次、2次．
20．（9分）已知直线y＝﹣x+m+1与双曲线y＝在第一象限交于点A，B，连接OA，过点A作AC⊥x轴于点C，若S△AOC＝3．
（1）求两个函数解析式；
（2）求直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围．
【解答】解：（1）设A（a，b），
∵S△AOC＝3，
∴，
∴m＝ab＝6，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7，反比例函数的解析式为y＝；
（2）联立y＝﹣x+7，y＝得x2﹣7x+6＝0，解得x1＝1，x2＝6，
∴A的横坐标为1，B的横坐标为6，
观察图象，直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围是1＜x＜6．
21．（9分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
【解答】（1）证明：∵将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，
∴CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD，AB⊥CD，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴CD＝2DO，
∴BD＝2DO；
（2）解：∵DN⊥BC，FM⊥BC，
∴∠DNE＝∠EMF＝90°，
又∵∠NDE＝∠MEF＝90°﹣∠FEM，ED＝EF，
∴△DNE≌△EMF（AAS），
∴DN＝EM＝AC＝8，
∴NE＝MF，
又∵CE＝2，
∴BM＝BC﹣ME﹣EC＝6，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝DN＝8，
∴NE＝14﹣8＝6，
∴MF＝MB＝6，
∴BF＝6，
∵点D，点G分别是AB，AF的中点，
∴DG＝BF＝3．
22．（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若+2x1+x2+k＝4，试求k的值．
【解答】解：（1）方程x2+3x+k﹣3＝0中，
a＝1，b＝3，c＝k﹣3，
由题意可知：Δ＝32﹣4（k﹣3）≥0，
解得：k≤；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴+3x1+k﹣3＝0，即＝﹣3x1﹣k+3，
∵+2x1+x2+k＝4，
∴﹣3x1﹣k+3+2x1+x2+k＝4，即：x2﹣x1＝1①．
x1+x2＝﹣＝﹣3②，
联立①②解得：，
即：（﹣2）2+2×（﹣2）+（﹣1）+k＝4，
解得：k＝5．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A；
（2）若∠DCE＝30°，DE＝2．求：
①AB的长；
②的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线
∴∠ODC＝90°，
即∠ODB+∠BDC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODB+∠ADO＝90°，
∴∠BDC＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠BDC＝∠A；
（2）解：①∵∠DCE＝30°，DE＝2，
∴CE＝2，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE＝30°，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴，
∴EC2＝DE•AE，
∴12＝2（2+AD），
∴AD＝4，
cos∠DAB＝＝＝，
∴AB＝；
②∵∠DOB＝∠DAO+∠ADO＝60°，
OB＝AB＝，
∴BD弧的长为：＝π．
24．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）．
（1）则抛物线的解析式为 y＝﹣x2+4x+5 ；
（2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m．
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（4，5），B（5，0），代入抛物线解析式得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5，
故答案为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）①∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，m+1），D（m，0），
则PE＝|﹣m2+4m+5﹣（m+1）|＝|﹣m2+3m+4|，DE＝|m+1|，
∵PE＝2ED，
∴|﹣m2+3m+4|＝2|m+1|，
当﹣m2+3m+4＝2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝2，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当﹣m2+3m+4＝﹣2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝6，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②∵P（m，﹣m2+4m+5），E（m，m+1），C（4，5），B（5，0），
∴CE＝＝|m﹣4|，
BE＝＝，
BC＝＝，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、CE＝BC或BE＝BC三种情况，
当BE＝CE时，则|m﹣4|＝，
解得m＝；
当CE＝BC时，则 |m﹣4|＝，解得m＝4+或m＝4﹣；
当BE＝BC时，则＝，
解得m＝0或m＝4（舍去）；
综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或4+或4﹣或0．
2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分)
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x+＝2
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7
C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
D．打开电视，正在播放广告
3．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（ ）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
4．（3分）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
5．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR（或者I＝），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
9．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0； ②4a+2b+c＜0； ③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④⑤
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
12．（3分）五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形图案．现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ．
13．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为 ．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣的顶点坐标是 ．
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△OCB旋转180°，使点B落在点B1处，那么点B1和B的距离是 cm．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 ．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分。解答写在答题卡上）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．
19．（9分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，黄球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得22分，问小聪有哪几种摸法？
20．（9分）已知直线y＝﹣x+m+1与双曲线y＝在第一象限交于点A，B，连接OA，过点A作AC⊥x轴于点C，若S△AOC＝3．
（1）求两个函数解析式；
（2）求直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围．
21．（9分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
22．（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若+2x1+x2+k＝4，试求k的值．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A；
（2）若∠DCE＝30°，DE＝2．求：
①AB的长；
②的长．
24．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）．
（1）则抛物线的解析式为 ；
（2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m．
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值．
2021年湖北省孝感市汉川市中考数学一调试卷
（参考答案）
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分)
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x+＝2
【解答】解：A、x2＝x是一元二次方程，符合题意；
B、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；
C、（x﹣1）x＝x2是一元一次方程，不符合题意；
D、x+＝2不是整式方程，不符合题意，
故选：A．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7
C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
D．打开电视，正在播放广告
【解答】解：A、一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7，是必然事件，故B符合题意；
C、从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故C不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（ ）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
【解答】解：∵∠BAC＝150°，弧BC长为50πcm，
∴＝50π，
∴AB＝60cm
故选：B．
4．（3分）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．
故选：D．
5．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR（或者I＝），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I＝，I与R成反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；
当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，
故选：A．
6．（3分）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，
积
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
所以在该游戏中甲获胜的概率是 ＝．
乙获胜的概率为＝．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
8．（3分）如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【解答】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝3，
又∵OC＝OD，AC＝BD，
∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝3，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×3＝12．
故选：A．
9．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
【解答】解：设⊙O的半径为r，
解一元一次方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝4，x2＝﹣1，
∵⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴r＝4，
∵圆心O到直线l的距离d＝6，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0； ②4a+2b+c＜0； ③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以②错误；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以③正确；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝，
∴当m时，a+b+c＞am2+bm+c，
∵b＝﹣a，
∴﹣b+＞am2+bm，即b＞m（am+b）（其中m），所以⑤正确．
故选：D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ﹣6 ．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
去括号，得x2+3x﹣2x﹣6＝0，
合并，得x2+x﹣6＝0，
所以常数项是﹣6．
故答案为：﹣6．
12．（3分）五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形图案．现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ．
【解答】解：圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形中，中心对称图形有圆，矩形3个；
则P（中心对称图形）＝．
故答案为：．
13．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为 24π ．
【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴AB＝5，
∵Rt△ABC沿边BC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，
所以所得到的几何体的全面积＝π×32+×2π×3×5＝24π．
故答案为：24π．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣的顶点坐标是 （3，2） ．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3x﹣＝﹣（x﹣3）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△OCB旋转180°，使点B落在点B1处，那么点B1和B的距离是 2 cm．
【解答】解：∵AC＝BC＝2cm，O为AC的中点，
∴OC＝2×＝1cm，
根据勾股定理，OB＝＝，
∴BB1＝2OB＝2（cm）．
故答案为：2．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 6 ．
【解答】解：设D点坐标为（a，），
∵点D为对角线OB的中点，
∴B（2a，），
∵四边形ABCO为矩形，
∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标为，
∴E（2a，），F（，），
∵四边形BEDF的面积＝S△DBF+S△BED，
∴（2a﹣）•（﹣）+（2a﹣a）•（﹣）＝9，
∴k＝6．
故答案为：6．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分。解答写在答题卡上）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1如图所示；
（2）∵，，
∴线段BC扫过的图形的面积＝＝2π．
19．（9分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，黄球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得22分，问小聪有哪几种摸法？
【解答】解：（1）列表如下：
红1
红2
蓝
黄
红1
（红1，红2）
（红1，蓝）
（红1，黄 ）
红2
（红2，红1）
（红2，蓝）
（红2，黄）
蓝
（蓝，红1）
（蓝，红2）
（蓝，黄）
黄
（黄，红1）
（黄，红2）
（黄，蓝）
共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，
∴两次摸到都是红球的概率为＝；
（2）设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6﹣x﹣y）次，
由题意得5x+3y+（6﹣x﹣y）＝22，
即2x+y＝8，
∴y＝8﹣2x，
∵x、y、6﹣x﹣y均为自然数，6﹣x﹣y＝6﹣x﹣8+2x＝x﹣2≥0，8﹣2x≥0，
∴2≤x≤4，
∴当x＝2时，y＝4，6﹣x﹣y＝0；
当x＝3时，y＝2，6﹣x﹣y＝1；
当x＝4时，y＝0，6﹣x﹣y＝2．
综上：小聪共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为2次、4次、0次或3次、2次、1次或4次、0次、2次．
20．（9分）已知直线y＝﹣x+m+1与双曲线y＝在第一象限交于点A，B，连接OA，过点A作AC⊥x轴于点C，若S△AOC＝3．
（1）求两个函数解析式；
（2）求直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围．
【解答】解：（1）设A（a，b），
∵S△AOC＝3，
∴，
∴m＝ab＝6，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7，反比例函数的解析式为y＝；
（2）联立y＝﹣x+7，y＝得x2﹣7x+6＝0，解得x1＝1，x2＝6，
∴A的横坐标为1，B的横坐标为6，
观察图象，直线y＝﹣x+m+1在双曲线y＝上方时x的取值范围是1＜x＜6．
21．（9分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
【解答】（1）证明：∵将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，
∴CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD，AB⊥CD，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴CD＝2DO，
∴BD＝2DO；
（2）解：∵DN⊥BC，FM⊥BC，
∴∠DNE＝∠EMF＝90°，
又∵∠NDE＝∠MEF＝90°﹣∠FEM，ED＝EF，
∴△DNE≌△EMF（AAS），
∴DN＝EM＝AC＝8，
∴NE＝MF，
又∵CE＝2，
∴BM＝BC﹣ME﹣EC＝6，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝DN＝8，
∴NE＝14﹣8＝6，
∴MF＝MB＝6，
∴BF＝6，
∵点D，点G分别是AB，AF的中点，
∴DG＝BF＝3．
22．（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若+2x1+x2+k＝4，试求k的值．
【解答】解：（1）方程x2+3x+k﹣3＝0中，
a＝1，b＝3，c＝k﹣3，
由题意可知：Δ＝32﹣4（k﹣3）≥0，
解得：k≤；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴+3x1+k﹣3＝0，即＝﹣3x1﹣k+3，
∵+2x1+x2+k＝4，
∴﹣3x1﹣k+3+2x1+x2+k＝4，即：x2﹣x1＝1①．
x1+x2＝﹣＝﹣3②，
联立①②解得：，
即：（﹣2）2+2×（﹣2）+（﹣1）+k＝4，
解得：k＝5．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A；
（2）若∠DCE＝30°，DE＝2．求：
①AB的长；
②的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线
∴∠ODC＝90°，
即∠ODB+∠BDC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODB+∠ADO＝90°，
∴∠BDC＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠BDC＝∠A；
（2）解：①∵∠DCE＝30°，DE＝2，
∴CE＝2，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE＝30°，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴，
∴EC2＝DE•AE，
∴12＝2（2+AD），
∴AD＝4，
cos∠DAB＝＝＝，
∴AB＝；
②∵∠DOB＝∠DAO+∠ADO＝60°，
OB＝AB＝，
∴BD弧的长为：＝π．
24．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）．
（1）则抛物线的解析式为 y＝﹣x2+4x+5 ；
（2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m．
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（4，5），B（5，0），代入抛物线解析式得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5，
故答案为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）①∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，m+1），D（m，0），
则PE＝|﹣m2+4m+5﹣（m+1）|＝|﹣m2+3m+4|，DE＝|m+1|，
∵PE＝2ED，
∴|﹣m2+3m+4|＝2|m+1|，
当﹣m2+3m+4＝2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝2，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当﹣m2+3m+4＝﹣2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝6，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②∵P（m，﹣m2+4m+5），E（m，m+1），C（4，5），B（5，0），
∴CE＝＝|m﹣4|，
BE＝＝，
BC＝＝，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、CE＝BC或BE＝BC三种情况，
当BE＝CE时，则|m﹣4|＝，
解得m＝；
当CE＝BC时，则 |m﹣4|＝，解得m＝4+或m＝4﹣；
当BE＝BC时，则＝，
解得m＝0或m＝4（舍去）；
综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或4+或4﹣或0．
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