2023-2024学年上海市重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

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2023-2024学年上海市重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是(    )A. 至少有两个解 B. 有且只有两个解 C. 至少有三个解 D. 至多有一个解2.若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为，、既不是也不是，则“”是“”的条件．(    )A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要3.方程在区间和各有一个根的充要条件是(    )A.  B.  C.  D. 4.设为复数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集下列命题：
集合为整数，为虚数单位为封闭集；
若为封闭集，则一定有；
封闭集一定是无限集；
若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集；
其中真命题的个数为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集，集合，，则 ______ ．6.已知的解集是，则 ______ ， ______ ．7.设，则“”是“”的______ 条件填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”8.已知集合，，若，那么的取值范围是______ ．9.设集合，则的所有真子集的个数是______ ．10.已知，，，，用列举法表示 ______ ．11.不等式的解集为______ ．12.设集合，，其中，，，若，则实数的取值范围是______．13.如果属于关于的不等式的解集，则的取值范围为______ ．14.集合有且仅有个子集，则的取值集合为______ ．15.给出下列命题：若，，则；若，，则；对于正数，，，若，则其中真命题的序号是______ ．16.设集合，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解下列不等式组和方程，并将解集表达成区间或集合的形式．
；
．18.本小题分
已知，：，：．
若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19.本小题分
设不等式的解集为．
求集合；
若，，且，试比较和的大小．20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；
若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由．21.本小题分
已知集合．
判断，，是否属于集合；
已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
写出所有满足集合的偶数．22.本小题分
已知数集，具有性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于．
分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
证明：，且；
当时，若，求集合．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，
命题：“方程至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，
故选：．
把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．
本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．2.【答案】 【解析】解：由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，
由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，
故由推不出，
反之若，也推不出，例如与解集都为，但系数并不成比例，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据与“”互相推出的情况判断属于何种条件．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：令，则解得，
所以方程在区间和各有一个根的充要条件是．
故选：．
根据一元二次方程根的分布与系数的关系，结合二次函数的图像，求出的取值范围即可．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．4.【答案】 【解析】解：由，，，为整数，可得；
；；
集合为整数，为虚数单位为封闭集，正确；
当为封闭集时，因为，取，得，正确；
对于集合，显然满足所有条件，但是有限集，错误；
取，，满足，但由于不属于，故不是封闭集，错误．
故正确的命题是，
故选：．
由题意直接验证的正误；令可推出是正确的；举反例集合判断错误；，，推出不属于，判断错误．
本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．5.【答案】 【解析】解：全集，集合，，
，
则．
故答案为：．
由交集定义先求出，再由补集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】   【解析】解：由的解集是，
可得的两根是和，
可得且，
故，．
故答案为：，．
直接根据二次不等式与二次方程的关系及方程的根与系数关系即可求得结论．
本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，属于基础题．7.【答案】必要不充分 【解析】解：由，得，
由，得，解得，
所以，
所以，反之不成立．
所以是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集，再结合充分必要条件的判定即可．
本题主要考查二次不等式和分式不等式，属于基础题．8.【答案】 【解析】解：当，即时，，满足，
当，即时，，
由得：，
解得：，
，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：
当，即时，，满足，当，即时，，由得：，最后综合讨论结果，可得答案．
本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，解答时易忽略当，即时，的情况，而造成错解．9.【答案】 【解析】解：，
当时，，，
当时，，，

真子集的个数为，
故答案为：．
根据题意，分析可得，若集合中有个元素，则集合有个真子集，即可得答案．
本题考查子集与真子集，关键是求出集合并区分子集与真子集两个概念．10.【答案】， 【解析】解：，，，，
，．
故答案为：，．
由，，，，知由此能求出结果．
本题考查交集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意集合的运算．11.【答案】或 【解析】解：不等式可变形为，
由可得，解得或，
由可得，解得或，
综上，可得或，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
由分式不等式求解即可．
本题主要考查分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】 【解析】解：集合，，其中，，，
，
直线与直线平行，
，
解得，
故答案为：
根据，直线与直线平行，即可得到结论．
本题主要集合的基本运算，直线与直线平行是解决本题的关键，比较基础13.【答案】 【解析】解：将代入不等式中，得，
即，解得，
所以的取值范围范围是．
故答案为：．
代入不等式中即可求出的取值范围．
本题考查一元二次不等式的求解，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：有且仅有个子集，
只有一个元素，
方程只有一个实数根，或有两个实数根时，其中一个根为或，
，解得，或，，或，，
时，，满足题意；时，满足题意；时，满足题意，
的取值集合为：．
故答案为：．
根据题意得出集合只有一个元素，得出方程只有一个实数根，然后讨论根的情况即可求出的值．
本题考查了一元二次方程有二重根时判别式的取值情况，子集的定义及求法，考查了计算能力，是中档题．15.【答案】 【解析】解：若，，则，即，正确；
若，，，显然满足，，则，错误；
对于正数，，，若，则，
则错误．
故答案为：．
由已知结合不等式的性质及作差法比较大小分布检验各命题即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．16.【答案】 【解析】解：根据题意，的长度为，的长度为，
当集合的长度的最小值时，
与应分别在区间的左右两端，
故的长度的最小值是，
故答案为．
根据题意中集合“长度”的定义，可得的长度为，的长度为，分析可得当集合的长度的为最小值时，即重合部分最少时，与应分别在区间的左右两端，进而计算可得答案．
本题考查集合间的交集，应结合交集的意义，分析集合“长度”的定义，进而得到答案．17.【答案】解：因为，
所以或，
解得或，
又，
得，
所以不等式组的解集为；
，
当时，，恒成立．
当时，．
当时，，无解．
当时，，恒成立．
综上所述，方程的解集为． 【解析】结合绝对值不等式、分式不等式的解法求得正确答案．
利用零点分段法求得方程的解．
本题考查了绝对值不等式的解法，分式不等式的解法，属中档题．18.【答案】解：对于：，解可得，
若，则：，
若，，有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解，
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
若是的充分条件，则有，解可得，
即的取值范围为． 【解析】根据题意，分析命题、为真时的取值范围，由复合命题的真假可得、一真一假，由此分情况讨论，求出的取值范围，即可得答案；
根据是的充分条件，得到关于的不等式组，解可得答案．
本题考查命题真假的判断以及充分必要条件的应用，涉及集合之间的关系，属于中档题．19.【答案】解：，可得，解得，
即集合．
，
因为，，且，
所以，，，
所以． 【解析】由绝对值不等式的解法求解即可；
利用作差法，即可比较大小．
本题主要考查绝对值不等式的解法，作差法比较不等式的大小，属于基础题．20.【答案】解：关于的一元二次方程的两根都是正数，
且，解得，
故实数的取值范围为．
由于方程的两根恰有一个是正数，
若方程有一正一负根，则两根之积，求得，故无整数解，
若方程有一正根和一零根，则两根之积，，不满足题意，
故实数不存在． 【解析】由题意，利用一元二次方程根与系数的关系，韦达定理，求得实数的取值范围．
由题意，利用韦达定理，分类讨论，得出结论．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理，二次函数的性质，属于基础题．21.【答案】解：，，，，
假设，，，则，且，
，
或，
显然均无整数解，
，
，，，
集合，则恒有，
，
即一切奇数都属于，
又，
”的充分非必要条件是“”，
集合、，成立，
当，同奇或同偶时，，均为偶数，为的倍数，
当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，
综上所有满足集合的偶数为，． 【解析】将，，分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案，
根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案．
成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数．
本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．22.【答案】解：由于，与或均不属于数集，
该数集不具有性质．
由于，，，，，，，，，都属于数集，
该数集具有性质．
证明：具有性质，
与中至少有一个属于，
由于，
故．
从而，．
，，，
故．
由具有性质可知．
又，，，，，
从而，
；
由知，当时，
有，，即，
，，，
由具有性质可知．
由，得，
且，，

即，，，， 是首项为，公比为等比数列，
即有集合． 【解析】根据性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于，验证给的集合集与中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
由性质，知，故，从而，再验证又由于，，，，，从而，命题得证；
根据，只要证明即可求得集合．
本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．