2023-2024学年黑龙江省重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年黑龙江省重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则集合(    )A.  B.  C.  D. 2.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是(    )A.  B.  C.  D. 3.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金(    )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长．A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定4.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题年，我国数学家陈景润证明了“”成立哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为(    )A. 每一个小于的偶数都不能写成两个质数之和
B. 存在一个小于的偶数不能写成两个质数之和
C. 每一个大于的偶数都不能写成两个质数之和
D. 存在一个大于的偶数不能写成两个质数之和5.已知，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 6.如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是(    )
 A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立7.政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，那么它们的关系是(    )A.  B.  C.  D. 8.现设计一个两邻边的长度分别为，的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时，(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题为真命题的是(    )A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则10.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为给出下面四个结论正确的为(    )A.
B.
C.
D. 11.当时，不等式恒成立，则的范围可以是(    )A.  B.  C.  D. 12.若，，且，则下列不等式恒成立的是(    )A.  B.  C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，，若，则实数组成的集合是______．14.若正数，满足，则的取值范围是          ．15.已知，，则的取值范围是______ ．16.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解下列不等式：
；
．18.本小题分
已知集合，，．
若，求、；
若，求实数的取值范围．19.本小题分
已知集合，．
若“命题：，”是真命题，求的取值范围；
若“命题：，”是真命题，求的取值范围．20.本小题分
已知函数
设，若关于的不等式的解集为，，且的充分不必要条件是，求的取值范围．
方程有两个实数根、，
若、均大于，试求的取值范围．
若，求实数的值．21.本小题分

某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为平方米计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元，在四个相同的矩形上图中阴影部分铺设花岗岩地坪，造价为每平方米元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米元．
设长为米，总造价为元，试建立关于的函数关系式；
问：当为何值时最小，并求出这个最小值．
22.本小题分
已知函数，．
若对，恒成立，求实数的取值范围；
若时，函数的最小值为，求实数的值；
，使成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
则集合．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】 【解析】解：当时，
：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，D正确．
故选：．
由已知结合集合的交集，并集及补集运算检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
但，等号不成立，即．
因此，顾客购得的黄金大于．
故选：．
设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论．
本题考查函数模型的应用，基本不等式的应用，属于中档题．4.【答案】 【解析】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，，C错误；
哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于的偶数不能写成两个质数之和”．
故选：．
根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．5.【答案】 【解析】解：因为，
则，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．6.【答案】 【解析】解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，如图，整个大正方形的面积大于等于这个直角三角形的面积和，即，即，当时，中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个直角三角形重合；其他选项通过该图无法证明．
故选：．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到，并判明何时取等即可．
本题主要考查均值不等式的几何法证明，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，
把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，
则，，．
故选：．
推导出，，．
本题考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】 【解析】解：由题意知，，且，所以，
则该矩形的周长为，
当且仅当，即，时，取得等号，
此时．
故选：．
根据题意求得，得到矩形的周长为，结合基本不等式，即可求解．
本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题．9.【答案】 【解析】解：对于，，又，故，A正确．
对于，若，则，故B错误．
对于，，
由可得，，，
，，C错误．
对于，，，
则，
，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为图象与轴交于两点，所以，即，A正确．
对于，二次函数的对称轴为，即，变形可得，B错误．
对于，结合图象，当时，，即，C错误．
对于，由对称轴为知，根据抛物线开口向下，则有，
所以，D正确．
故选：．
根据题意，结合二次函数的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的性质，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：设，
当时，不等式恒成立，
，
解得．
故选：．
设，由二次函数的性质可得，从而求出的取值范围．
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．12.【答案】 【解析】解：因为，，且，
所以，
所以，
根据二次函数性质可知，当时，取最小值，故有成立，A正确；
B.因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，故B正确．
：因为，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
：，当且仅当时取等号，D错误．
故选：．
由已知结合二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．
本题主要考查了二次函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．13.【答案】 【解析】解：．
当时，即无解，得：．
当时，即有解，解得
由题意：，
可得：或
解得：或
那么实数组成的集合为．
故答案为：．
由题意：，可得，那么有可能是空集，是的真子集．
本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，解题的关键是正确判断集合的含义．属于基础题14.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
先根据基本不等式可知，代入题设等式中得关于不等式，进而求得的范围，则的取值范围可求．【解答】
解：若正数，满足，
则，当且仅当时取等号，
所以，
解得或舍，
则，的取值范围是．
故答案为：．15.【答案】 【解析】解：设，
所以，解得，，
因为，，则，，
因此，．
故答案为：．
利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．16.【答案】 【解析】解：依题意，
所以
，
当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式求得正确答案．
本题考查海伦秦九韶公式等基础知识，考查运算求能力，是基础题．17.【答案】解：即，
即，
解得；
，即，
即，
解得或，
即解集为． 【解析】因式分解求解二次不等式即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：，，
则，
若，则，，
则，；
，
若，满足题意，所以；
若且，需满足，
综上． 【解析】根据集合的交并补运算，直接计算可得答案；
根据题意，得到，对进行分类讨论，计算可得答案．
本题主要考查了集合的并集，交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．19.【答案】解：集合，解得：，
．
整理得．
若“命题：，”是真命题，
所以，
所以，
整理得．
若“命题：，”是真命题，
所以：，或，
整理得，
所以． 【解析】直接利用一元二次不等式和分式不等式之间的关系和集合间的关系求出参数的取值范围．
利用存在性问题的应用和不等式的解法的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，集合间的关系，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】解：由得，即
得，
又，所以，
即，
的充分不必要条件是，
，
则得得，即实数的取值范围是．
方程为
若、均大于，则满足得，
得，即的取值范围．
若，
则，
则，
即，
，
得或，
得或，
则，即实数的值是． 【解析】求出不等式的解集，结合充分条件和必要条件的关系转化为集合关系进行求解即可．
利用根与系数之间的关系，建立不等式或方程进行求解即可．
本题主要考查一元二次方程与一元二次函数之间的关系，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．21.【答案】解：由题意，有 由，有   
则

 

取等号时，，即
当米时，元． 【解析】根据由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为平方米得出的函数表达式，最后建立建立与的函数关系即得；
利用基本不等式求出中函数的最小值，并求得当取何值时，函数的最小值即可．
本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则当时，不成立，不合题意；
当时，由，恒成立得：，
解得：或，
综上所述：实数的取值范围为．
当，即时，在上单调递增，，不合题意；
当，即时，为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递增，，不合题意；
当，即时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线；
若，即，则当时，取得最小值，，不合题意；
若，即，则当时，取得最小值，，
令，解得：；
综上所述：实数的值为．
由题意知：，使得成立，
即，使得成立，
即，使得成立；
令，则，使得，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，解得：，
即实数的取值范围为． 【解析】分别讨论和的情况，结合一元二次不等式恒成立的思想可构造不等式组求得结果；
分别讨论、和的情况，通过对二次函数开口方向和对称轴位置的分析得到最值点，利用最值构造方程求得结果；
将问题转化为，令，由二次函数的最值和能成立的思想可得，解不等式可求得结果．
本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想，属于中档题．