2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（11月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（11月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了幂函数的定义域为 　　，方程的实数根的个数为 　　，设方程，的两个实数根为和，则，不等式的解集为 　　，　 　等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）幂函数的定义域为 ．
2．（4分）集合，2，3，，的非空真子集有 个．
3．（4分）方程的实数根的个数为 ．
4．（4分）设方程，的两个实数根为和，则
5．（4分）不等式的解集为 ．
6．（4分）规定记号“△”表示一种运算，即，，，若1△，则函数的值域是 ．
7．（5分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米．
8．（5分）已知是偶函数，且不恒等于零，则的奇偶性是 ．
9．（5分）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3） ．
10．（5分）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为
11．（5分）已知函数，若将函数图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 ．
12．（5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 ．
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件D．充要条件
14．（4分）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为
A．1800B．1000C．790D．560
15．（5分）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于
A．4B．8C．10D．32
16．（5分）下列命题组真命题的个数为
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0B．1C．2D．3
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）阅读如下数学问题及解决过程：
已知，求关于的表达式．
解：由已知，得，，故．
请解答下列问题：
已知变量，满足关系；．
（1）求关于的表达式并写出变量的取值范围；
（2）若，求的值．
18．（14分）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重．
（1）旧方法利用描点法画出函数的图象；
（2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象；
（3）小规律可知函数与它的反函数关于直线 对称；
（4）做实践画出函数的图象．
19．（14分）对定义域分别为、的函数、，规定：函数
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求（1）问中函数的值域．
20．（18分）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图，（注利润与投资额的单位均为万元）
（1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数；
（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，求：生产、两种产品能获得最大利润．
21．（18分）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．
（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式
②求函数图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由
（4）仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题： ．
（5）已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间，上的值域为，则实数的取值范围为 ．
参考答案
一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1．（4分）幂函数的定义域为 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
2．（4分）集合，2，3，，的非空真子集有 30 个．
解：根据元素互异性集合中有5个元素，
所以非空真子集有．
故答案为：30．
3．（4分）方程的实数根的个数为 2 ．
解：由，
得，
作出函数与的图象，如图所示：
由此可得两函数有2个交点，
所以方程有2个实数根．
故答案为：2．
4．（4分）设方程，的两个实数根为和，则
解：令，则，解得或，
即或，解得或，
所以，或，，
所以．
同理可求，时，结果也为．
故答案为：．
5．（4分）不等式的解集为 ， ．
解：设函数，需满足，解得，函数的定义域为，．
又，
有因为，，所以函数在区间，上递增，
且，则有，
故答案为：，．
6．（4分）规定记号“△”表示一种运算，即，，，若1△，则函数的值域是 ， ．
解：△，，
，
当时，，
的值域为：，．
故答案为：，．
7．（5分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 600 米．
解：因为，所以，
所以，，又，
所以，
所以，
所以，
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米．
故答案为：600．
8．（5分）已知是偶函数，且不恒等于零，则的奇偶性是 奇函数 ．
解：根据题意，设，则，
则，
则，则，
是偶函数，即，
又由，则，
故为奇函数．
故答案为：奇函数．
9．（5分）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3） 0 ．
解：由，得：，
解得：，
故，
，
故，
故（3），
故答案为：0．
10．（5分）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 5
解：函数的图象如下：
所以，，
函数在上单调递减，上单调递增，
所以在时取得最小值，最小值为5．
故答案为：5．
11．（5分）已知函数，若将函数图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 或 ．
解：函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，
故函数为一一映射，
结合反比例函数的图象和性质可得：
或，
故答案为：或．
12．（5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 ，，， ．
解：由题设，且，，且，，
所以能成立，即能成立，则，
所以，，显然，2，3，，不存在满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
故且．
正实数的取值范围是，，，．
故答案为：，，，．
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件D．充要条件
解：若“”则，当，有“”当，“无意义，
即：“”推不出“”；
若“”；则，且；
解得：，则能推出，
由充要条件的定义判断“”是“”的必要非充分条件．
故选：．
14．（4分）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为
A．1800B．1000C．790D．560
解：由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）（元，
所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：（元，
故选：．
15．（5分）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于
A．4B．8C．10D．32
解：由，可得的反函数为，．
．
故选：．
16．（5分）下列命题组真命题的个数为
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0B．1C．2D．3
解：对①，取函数，，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数，当时有和与之对应，
即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误．
故选：．
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）阅读如下数学问题及解决过程：
已知，求关于的表达式．
解：由已知，得，，故．
请解答下列问题：
已知变量，满足关系；．
（1）求关于的表达式并写出变量的取值范围；
（2）若，求的值．
解：（1）由已知，，
，；
（2）时，，
，
，
解得或2，
或4．
18．（14分）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重．
（1）旧方法利用描点法画出函数的图象；
（2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象；
（3）小规律可知函数与它的反函数关于直线 对称；
（4）做实践画出函数的图象．
解：（1）列表：
描点连线得图象如图：
（2）由得，，所以的反函数为，，
列表：
描点连线得，的图象如图：
（3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称．
（4）由得，
所以的反函数为，
作出函数的图象如图：
作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图：
19．（14分）对定义域分别为、的函数、，规定：函数
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求（1）问中函数的值域．
解：（1）由，得，
，，，
，，则，，，且，且，
又，
根据规定可得：．
（2）当时，，
①若，，其中等号当时成立；
②若，，其中等号当时成立；
当时，；
函数的值域是，，．
20．（18分）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图，（注利润与投资额的单位均为万元）
（1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数；
（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，求：生产、两种产品能获得最大利润．
解：（1）由已知设，，
又函数过点，，
则，解得，即；
函数过点，，
则，解得，即；
（2）设投入产业万元，投入产业万元，，
则利润，
所以当，即时利润取最大值为，
即最大利润为4.0625万元．
21．（18分）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．
（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式
②求函数图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由
（4）仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题： 函数关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数 ．
（5）已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间，上的值域为，则实数的取值范围为 ．
解：（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
所得图象对应解析式为，
②因为的定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
所以的图象关于点对称．
（2），
由得的定义域为，
又，即，
所以为奇函数，所以的图象关于点对称．
（3）假命题，理由如下：
不妨设，易知的图象关于直线成轴对称图形，
显然不存在如何实数和，使得函数是偶函数，故该命题为假命题．
（4）若函数关于直线成轴对称，则，
即函数是偶函数，反之亦然．
故答案为：函数关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数
（5），
由解得的定义域为，，，
且，所以为奇函数，
所以的对称中心为，即，
所以，
由复合函数单调性可知，在上单调递增，
又函数在区间，上的值域为，
所以，
即，
整理得，
则在上有两个不相等的实数解，
易知，所以，
由△解得或，
令，，则，
当且仅当，即时等号成立，
综上，实数的取值范围为．
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
0
3
0
1
2
0
1
2
0
3