2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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1．（4分）用有理指数幂的形式表示： ．
2．（4分）“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
3．（4分）已知，，则 1（填“”或“” ．
4．（4分）函数，，的值域为 ．
5．（4分）集合，则的子集的个数是 ．
6．（4分）已知函数，且，那么（2） ．
7．（5分）已知为常数，，，则的最小值是 ．
8．（5分）若，则 ．
9．（5分）2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在，则 年我国人口将超过20亿．，，
10．（5分）设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围 ．
11．（5分）已知函数，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
12．（5分）当实数、满足时，的取值与、均无关，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题.满分20分）
13．（5分）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据：（1），，，，则下列说法正确的是
A．函数在上有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
14．（5分）已知是定义在，上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意，，，且，都有
D．对任意，，，且，都有
15．（5分）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
A．B．，，
C．D．，，
16．（5分）定义域为，且同时满足以下两个条件：
（1）对任意的，，恒有；
（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在，上为严格增函数；
③函数在，上是“函数”；
④函数在，上是“函数”．
其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（15分）（1）已知正数满足，，求的值；
（2）已知、、均为正数，且，求的值．
18．（15分）已知函数是定义在，上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（15分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求的取值范围．
20．（15分）已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在，上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点．
21．（16分）对于在某个区间，上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，，有恒成立，则称函数是函数在区间，上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间，上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间，上的弱渐近函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间，上的弱渐近函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）用有理指数幂的形式表示： ．
解：，
故答案为：．
2．（4分）“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
解：若“”是“”的充分不必要条件，
则，
故答案为：．
3．（4分）已知，，则 1（填“”或“” ．
解：因为，所以指数函数在上单调递减，
又，所以．
故答案为：．
4．（4分）函数，，的值域为 ．
解：函数，，，
，
当时，，此时函数单调递减；当，时，，此时函数单调递增．
当时，函数取得最小值（1）．
又（2），函数的值域为：．
故答案为：．
5．（4分）集合，则的子集的个数是 8 ．
解：根据，
其中，，，
则，0，，中含有3个元素，
则子集的个数是．
故答案为：8．
6．（4分）已知函数，且，那么（2） ．
解：由题意，，即，
故，
故答案为：．
7．（5分）已知为常数，，，则的最小值是 ．
解：，
，
则，
当且仅当时，取最小值，
故答案为：．
8．（5分）若，则 ．
解：，、
则．
故答案为：．
9．（5分）2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在，则 2037 年我国人口将超过20亿．，，
解：设年我国人口将超过20亿，
则
，
，
解得，又，故．
故答案为：2037．
10．（5分）设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围 ，， ．
解：由题意，则
或
解得或
所以使成立的的取值范围是，，
故答案为，，
11．（5分）已知函数，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
解：因为，
所以可化为，
设，
易知对勾函数在区间为减函数，在区间为增函数，其值域为，，
故上述方程可转化为，
因为恰有两个不同的实根，所以在上只有一个解，
即在上只有一个解，
令，则与的图象只有一个交点，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，
且，（3），
作出与的大致图象，如图，
结合图象可知或．
故答案为：．
12．（5分）当实数、满足时，的取值与、均无关，则实数的取值范围是 ．
解：因为实数，满足，设，，
则，其中，
所以，
因为的取值与、均无关，
所以，
即此时，所以，
则，
故答案为：
二、选择题（本大题共4题.满分20分）
13．（5分）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据：（1），，，，则下列说法正确的是
A．函数在上有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
解：，
由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，
而，没有达到精确度的要求，应该接着计算．
故选：．
14．（5分）已知是定义在，上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意，，，且，都有
D．对任意，，，且，都有
解：根据题意，依次分析选项：
对于，有函数，对任意，都有，但函数不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，都有，不满足函数单调性的定义，不符合题意，
对于，当为常数函数时，对任意，，，
都有，不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，，，设，若，
必有，则函数在，上为增函数，符合题意；
故选：．
15．（5分）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
A．B．，，
C．D．，，
解：令，
即有，
则，
而，
作函数与函数的图象如右，
当时，与的图象恒有两个交点；
当时，当的图象过点，可得，
由图象可得时，与的图象有两个交点．
综上可得，实数的取值范围是，，，
故选：．
16．（5分）定义域为，且同时满足以下两个条件：
（1）对任意的，，恒有；
（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在，上为严格增函数；
③函数在，上是“函数”；
④函数在，上是“函数”．
其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
解：①若为“函数”，
则满足对，，则有成立，
即当时，，
成立，
故①正确；
②若为“函数”，
则（1）对任意的，，恒有；
（2）若，，则有成立，即；
取任意的，，，不妨取△，△，
即，
则有（1）△；
（2）△△；
△，
由函数的单调性定义知：在，上为增函数，但非严格单调函数，
故②错误；
③若函数，，为“函数”，
令，时，
则，
，矛盾，
故③错误；
④当函数，，，
条件（1）成立；
条件（2）因在，时为增函数也成立；
函数在，上是“函数”．
故④正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（15分）（1）已知正数满足，，求的值；
（2）已知、、均为正数，且，求的值．
解：（1）因为，所以．
所以；
（2）因为、、均为正数，设，则，
所以，，，，
所以，，，
所以．
18．（15分）已知函数是定义在，上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为为奇函数，所以，
设，则，，
由为奇函数有，
又时满足，
故，
（2）当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在，上的增函数，
又因为，
所以，
故有，
即，
故，即的取值范围是，．
19．（15分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求的取值范围．
解：（1）令，则或，
，，
，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，炮的射程最大，为10千米．
（2）炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，
即关于的方程有正根，
由韦达定理知，满足两根之和大于0，两根之积大于0，
只需△，解得或．
，．
故若炮弹可以击中它，的取值范围为．
20．（15分）已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在，上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点．
解：（1）因为
当时，由得，则无零点；
当时，由得，则的零点为；
（2）因为的定义域为，
当时，对任意，有，因此是偶函数
当时，（1）且（1），因此是非奇非偶函数；
（3）因为在，上单调递减，
在，上任取，有恒成立，
即恒成立，而，所以，
证明：当时，，取，
则，
又，，，，
所以，即，
所以在上严格递减，则在上至多1个零点，
又，即
所以由零点存在定理在区间上有且仅有1个零点．
21．（16分）对于在某个区间，上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，，有恒成立，则称函数是函数在区间，上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间，上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间，上的弱渐近函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间，上的弱渐近函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（1），，，
，
又，，，
，
恒成立，
是函数在区间，上的弱渐近函数；
（2）函数是函数在区间，上的弱渐近函数，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，
实数的取值范围为，；
（3）若存在实数，满足条件，则根据题意可得：
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
令，由，，可得，，
，，，
，，，
又，
而在，上单调递增，
，
且，无解，
不存在实数满足题意．