2024广元广元中学高一上学期10月月考数学试题含解析

广元中学高2023级高一上期第一次阶段性测试

数学试题

时间：120分钟  总分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】可以先求出集合B,然后进行交集的运算即可.

【详解】或，

，

.

故选：C

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：D.

3. 设集合，，若，则（    ）．

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为，则有：

若，解得，此时，，不符合题意；

若，解得，此时，，符合题意；

综上所述：.

故选：B.

4. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A. 必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分必要条件判断即可得解.

【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，

故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，

故选：A.

5. 函数的值域是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域.

【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.

故选：B.

【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.

6. 已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ）

A. M>N B. M＝N

C. M<N D. 不确定

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】因为，所以

，当且仅当取等号，

而，

故选：A．

7. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得．

【详解】不等式化为，

当时，不等式无解，

当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，

当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，

综上的取值范围是．

故选：.

【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．

8. 已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.

【详解】

，

而，

当且仅当，即取等.

故选：C.

二、多项选择题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列各图中，可能是函数图象的是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的概念即可求解

【详解】对于B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误，

其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.

故选：ACD.

10. 某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表

该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意直接列不等式即可求解.

【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，

所以，

因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，

所以.

故选：BC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.

【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，故选项A正确；

对于B，当，，，时，有，，

但此时，，，故选项B错误；

对于C，当，，时，有，，

但此时，，，故选项C错误；

对于D，∵，∴，∴，

∴，∴，

由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.

故选：AD.

12. 下列说法正确的有（    ）

A. 若，则的最大值是

B. 若，则的最小值为2

C. 若，，均为正实数，且，则最小值是4

D. 已知，且，则最小值是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．

【详解】对于A，由可得，由基本不等式可得，

当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为，故A正确；

对于，，

当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误；

对于C，由可得

，

当且仅当且，即，，时，等号成立，由于，，均为正实数，则等号取不到，故C错误；

对于D，由得，即，

设，则，解得，

又，则，

所以，

当时，即时取等号.所以最小值是.故D正确；

故选：AD.

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为且，即可求解.

【详解】有已知得，，，,

即且，则不等式的解集为，

故答案为：.

14. 设函数若，则实数___________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据给定分段函数，代值计算得解.

【详解】当时，，解得；
 

当时，，解得.

故答案为：或.

15. “至少有一个不为”是“”的______________条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）

【答案】充要条件

【解析】

【分析】利用充要条件的定义判断.

【详解】至少有一个不为，说明或或均不能为，则，

即“至少有一个不为”“”；

,说明或或均不能为，即至少有一个不为，

即“” “至少有一个不为”；

则“至少有一个不为”是“”的充要条件，

故答案为：充要条件.

16. 对非空有限数集定义运算“min”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为．现有如下四个命题：

①若，则；②若，则；

③若，则；④对任意有限集合，，，均有．

其中所有真命题的序号为__________．

【答案】①③

【解析】

【分析】

根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.

【详解】对于结论①，若，则，中最小的元素相同，故①正确；

对于结论②，取集合，，满足，但，故②错误；

对于结论③，若，则中存在相同的元素，则交集非空，故③正确；

对于结论④，取集合，，，可知，，，

则不成立，故④错误.

故答案为：①③．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （1）已知实数满足，求取值范围；

（2）已知，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由，，结合可加性求解；

（2）由，结合不等式的性质求解.

【详解】（1）因为，，所以，

所以的取值范围是．

（2）设

则，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴

即.

18. 已知函数的定义域为A，集合.

（1）当时，求;

（2）若，求a取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求得结果；

（2）根据包含关系，分成，两种情况进行讨论.

【小问1详解】

由题意可得，，解得，即，

当a=2时，，

故，

【小问2详解】

若，则

①时，

②时，，，

综上，取值范围为.

19. （1）比较与的大小；

（2）若命题“时，一次函数的图象在轴上方”为真命题时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】（1）平方作差比较可得；

（2）由区间两端点处函数值大于0可得．

【详解】（1）

又.

（2）因为命题“时，一次函数的图象在轴上方”为真命题，

所以，所以或，

即的取值范围为或．

20. 某乡镇卫生院为响应政府号召，决定在院内投资96000元建一个长方体的新冠疫苗接种点，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方造价450元，顶部每平米造价600元，设正面长为x米，每侧砖墙长均为y米.

（1）用x表示y，并写出x的范围；

（2）求出新冠疫苗接种点占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？

【答案】（1）   

（2）占地面积S的最大允许值是100平方米，此时正面长应设计为15米．

【解析】

【分析】（1）依题意有，可得函数的解析式；

（2）由基本不等式得的取值范围，可得的最大取值，再由等号成立的条件，解得，可得正面的设计长度．

【小问1详解】

由题意，，

化简得，得.

【小问2详解】

（当且仅当时取“=”），
代入，得，

得，

则，即面积S的最大允许值是100平方米．
当时，S取最大值，又，
∴，，

∴此时正面长应设计为15米．

21. 设函数，

（1）若且，求不等式的解集；

（2）若，求最小值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知得，对分，，三种情况，依次求解不等式即可；

（2）对分和，分别用均值不等式求出最小值,取两者的最小值即可求解.

【小问1详解】

由得，

又因为 所以不等式化为，

即，，

故：（i）当时，不等式的解集为；

（ii）当时，，不等式的解集为；

（iii）当时，，不等式的解集为.

【小问2详解】

由已知得，即，

则，

当时，，所以（当且仅当，即时等号成立）；

当时，，所以（当且仅当，即时等号成立）；

所以的最小值为.

22. 已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若不等式对恒成立，求的最大值．

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

【分析】

(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值.

【详解】（1）∵的解集为

∴，，

∴.故

从而，解得.

（2）∵恒成立，

∴，

∴∴，

令，∵ ∴，从而，

∴，令.

①当时，；

②当时， ，

∴的最大值为.

【点睛】易错点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.