2023-2024学年四川省广元市苍溪中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省广元市苍溪中学校高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线与直线垂直，则k等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直则,即可得出答案.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，
解得
故选:C
2．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接根据椭圆定义得到答案.
【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则.
故选：A.
3．已知数列满足．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，，，，，…
故数列周期为4，则.
故选：B
4．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得焦点和顶点到渐近线的距离，根据，求得，进而求得，即可求得渐近线方程.
【详解】由双曲线，可得右顶点，右焦点，
渐近线方程为，即，
则右焦点到渐近线的距离为，
右顶点到渐近线的距离为，
根据题意，可得，即，即，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
5．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（ ）
A．8B．4C．1D．
【答案】A
【分析】求出圆心到一条渐近线的距离，利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.
【详解】由可得，即圆心为，半径为，
由双曲线的对称性，取双曲线的一条渐近线，即，
所以圆心到渐近线的距离为，依题意得，解得.
故选：A
6．已知点是抛物线上一点，设到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得出，结合图形可得知，当、、三点共线时，取得最小值，即为点到直线的距离，即可得解.
【详解】如下图所示，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，
过点作垂直于直线，垂足为点，抛物线的焦点为，
由抛物线的定义可得，
，当且仅当、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，
点到直线的距离为，因此，的最小值是.
故选：C.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
7．直线，与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】曲线方程整理后可知其图象为半圆，画出图象，根据图象及直线与圆相切，可确定出b的取值范围.
【详解】曲线有即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），如图，
则、、，
当直线经过点时，，求得，
此时只有一个公共点，符合题意；
当直线经过点、点时，，求得，
此时有2个公共点，不符合题意；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，
可得，求得或（舍去），
即：时，只有一个公共点，符合题意，
综上由图象可得实数的范围为或，
故选：A
8．已知点，，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】D
【分析】求出点的轨迹，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答.
【详解】令点，则，于是，即点P的轨迹是直线：，圆的圆心，半径，而点Q在圆C上，则，

因此，令点C关于直线对称点，，则有，解得，，即，
因此，当且仅当点P，O，共线，且点O在线段上时取等号，
直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，所以当点P与重合时，，.
故选：D
二、多选题
9．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
【答案】ABC
【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴的空间直角坐标系，
设斜边，则，

可得，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，则，故B正确；
对于选项C：，则，故C正确；
对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量，
设平面ABC的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D错误．
故选：ABC.
10．已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．内切圆的半径为D．
【答案】BC
【分析】根据焦点三角形的性质，即可求解AC,即可结合余弦定理，以及面积公式即可求解BD.
【详解】由可得，
A选项：周长为，所以A错误；
B选项：由余弦定理可得，故
所以，所以B正确；
C选项：，所以，所以C正确；
D选项：，所以，
所以，所以，所以D错误.
故选：BC
11．已知圆的方程为，对任意的，该圆（ ）
A．圆心在一条直线上B．与坐标轴相切
C．与直线不相交D．不过点
【答案】ABC
【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.
【详解】对于：显然圆心在故A对；
对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；
对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；
对于D：将点代入圆方程得，
显然，故有解，所以可能过点错；
故选：ABC．
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．是“最远距离直线”
D．不是“最远距离直线”
【答案】BCD
【分析】确定出点轨迹是抛物线，再确定此抛物线与BCD中的直线有无公共点即可得．
【详解】平面上点到点M的距离比到直线l的距离小1，则点到点M的距离与它到直线的距离相等，
因此其轨迹是以焦点，直线为准线的抛物线，其轨迹方程是，A显然错，
此抛物线与直线一定无交点，B正确；
由得，即，，
方程组有实数解，因此此抛物线与直线有交点，
即直线上存在点满足题意，C正确；
由得，，方程组无实数解，
因此抛物线与直线无公共点，所以直线上不存在点满足题意，D正确，
故选：BCD．
三、填空题
13．如果AC＜0，BC＞0，那么直线不通过第 象限
【答案】二
【分析】将直线方程化为斜截式，利用AC＜0，BC＞0判断斜率和截距的符号，进而可得解.
【详解】直线化为斜截式，
因为AC＜0，BC＞0，所以，直线不通过第二象限.
故答案为：二
14．实数x，y满足，则的最小值为 .
【答案】/3.2
【分析】由为原点和直线上点的距离的平方，由原点到直线的距离即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：为原点和直线上点的距离的平方，最小即为到直线的距离的平方，又到直线的距离为，
故的最小值为.
故答案为：.
15．椭圆的焦点为，点P是椭圆上任意一点，当时，P点横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】设，,则，
又，所以，
故答案为：
16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共焦点，，是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，利用椭圆的定义以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解的最小值．
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，
由椭圆的定义，
由双曲线的定义，
所以有，，
因为，
由余弦定理可得，
整理得，
所以
，当且仅当时取等号，
故答案为：．
四、解答题
17．设.
(1)求数列的最大项；
(2)若是数列的前项和，求.
【答案】(1)最大
(2)
【分析】（1）判断数列的单调性，求最大项；（2）由数列的前项和求通项公式.
【详解】（1）由得
所以：
故最大.
（2）当时，；
当时，，
∵，所以当时，上式亦成立.
所以.
18．已知双曲线的方程是．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小．
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程；
（2）由双曲线定义有，结合已知求即可.
【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为；
（2）由双曲线定义，又，

所以，可得（负值舍），
所以的大小为2.
19．已知圆：.
(1)若直线与交于A，两点，线段的中点为，求；
(2)已知点的坐标为，求过点的圆的切线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据运算求解；
（2）根据直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）：的圆心，半径
设线段的中点为，则
∴.
（2）当的斜率不存在时，则：，圆心到直线的距离为，即与圆相切，
∴符合题意；
当的斜率存在时，设为，则直线：，即
由题意可得：，解得，
∴直线：；
综上所述：的方程为或.
20．已知抛物线C：过点．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
【答案】(1)，准线方程为
(2)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；
（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.
【详解】（1）∵过点，
∴，解得，
∴抛物线C：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线AB：，，，
由，得：，则，
则．
21．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.

(1)求二面角的余弦值；
(2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；
（2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.
【详解】（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，
所以是正三角形，四边形为菱形，
可得，，
而平面平面，平面平面，
平面，，
平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，
，
所以二面角的余弦值为.
（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.
设，因为，，所以，
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
22．已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由椭圆离心率为，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出的值，由此能求出椭圆的方程；
(2)当直线的斜率不存在时，推导出 ，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解的取值范围.
【详解】（1）由题意，得圆心到直线的距离为，
有，解得，
故椭圆.
（2）①若直线斜率不存在，则轴，方程为，
，故.
②若直线斜率存在，设直线的方程为，
由，消去得，
，
设，则.
，
则
，
代入韦达定理可得，
由可得，
综上，.