【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 拓展模块下册 单元复习 第7章 数列（知识点）讲义

知识点一：数列的概念

1．数列及其有关概念

(1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．

(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

2．数列的分类

3．函数与数列的关系

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

4．数列的单调性

5．通项公式

(1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

(2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．

6．数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．

7．数列的前n项和Sn与an的关系

(1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

(2) an＝

知识点二：等差数列

1．等差数列的概念及通项

(1)定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）.

(2)等差中项   如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．

(3)等差数列通项公式  

(4)等差数列的判定

① (定义法);          ②(中项法);

③(通项法, 一次函数);  ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).

2．等差数列前n项和

(1) ；

(2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系

等差数列的前项和,令,则 .

3．等差数列的性质

设为等差数列,公差为,则

(1)若,则.特别地,若,则;

(2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．

(3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．

(4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．

知识点三：等比数列

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．

2．等比中项

如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．

3．等比数列的通项公式

首相为，公比为的等比数列的通项公式为：

4．等比数列的前项和公式

5．等比数列的性质

设等比数列的公比为

 (1) 若，且，则，特别地，当时，．

(2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．

 (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；

 (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．

考点一 数列的概念

1．下列有关数列的说法正确的是（    ）

A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列

C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关

【答案】D

【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；

对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；

对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；

对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.

故选：D.

2．在数列中，第9个数是（    ）

A． B．3 C． D．10

【答案】B

【解析】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3，故选：B.

3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是，故选：C．

4． 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　 　)

A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…

C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，

【答案】B

【解析】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.

5．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（     ）

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

【答案】C

【解析】令，解得，故选：C．

6．已知数列的前项和为，求数列的通项公式．

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1），

∴当时，；当时，．经检验，当时，符合上式，．

（2），∴当时，；当时，

，经检验，当时，不符合上式，

．

考点二 等差数列

7．下列数列中，不成等差数列的是（    ）．

A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001

C．a，a，a，a D．，，，

【答案】B

【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，

对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，

对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，

对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，

故选：B

8．“a，b，c成等差数列”是“”的（    ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；

若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，

综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，故选：C．

9．数列满足，且，则它的通项公式            ．

【答案】

【解析】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以数列的通项公式为，故答案为：.

10．在等差数列中，，，则数列的公差             _.

【答案】2

【解析】由题意得，解得，故答案为：2.

11．在等差数列中，若，则的值为（    ）

A．90 B．100 C．180 D．200

【答案】C

【解析】因为为等差数列，故，故，

而，故选：C.

12．记等差数列的前n项和为,若,则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【解析】解:由题知,即,,，故选:C

13．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．120 B．60 C．160 D．80

【答案】A

【解析】为等差数列，，

，，解得.

.故选：A.

14．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】因为，，所以，即 ，根据等差数列的性质可知，所以，故选:B.

15．已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，

则，解得或．因为数列为递增数列，所以，

所以等差数列的通项公式为．

考点三 等比数列

16．下列各组数成等比数列的是（    ）

①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，，

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】C

【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C.

17．在数列中，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】数列中，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列，所以.故选：D.

18．在等比数列中，如果，那么（    ）

A．40 B．36 C．54 D．128

【答案】D

【解析】设公比为，由，，所以，所以，故选：D.

19．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

【答案】D

【解析】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，

所以，或（舍），所以，，故选：D.

20．在数列中，，，且，则数列的通项公式是             ．

【答案】

【解析】，故是等比数列，，故，故答案为：.

21．在正项等比数列中，，则______．

【答案】2

【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，，

．故答案为：2.

22．设等比数列的前项和为，若公比，，则______．

【答案】

【解析】设等比数列的首项为，则，则，故答案为：.

23．已知数列的前n项和为，在各项均为正数的等比数列中，，，求数列与的通项公式.

【答案】，

【解析】解：时，；

时，，两式相减得，适合，所以；

设等比数列的公比为，由题得，所以.  所以.

24．为等比数列，且，，求.

【答案】或

【解析】因为数列为等比数列，则，解得或.

由等比中项的性质可得，则.

若，则；若，则，综上所述，或.

25．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）

A．31 B． C． D．63

【答案】C

【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C.