【期中复习】高教版2021）中职高中数学 拓展模块上册 单元复习 第5章 复数 知识点复习-讲义

知识点一：复数的概念和意义

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.

(2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．

(3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．

(4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．

注意：复数概念说明：

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.

(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数的分类

对于复数a＋bi，

(1)当且仅当b＝0时，它是实数；

(2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；

(3)当b≠0时，叫做虚数；

(4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．

这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：.

注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

3．复数相等

在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，

我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。

4．复数的几何意义

(1)复平面   建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

①轴——实轴  ②轴——虚轴  ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数复平面内的点

(3)复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数  平面向量

(4)复数的模

向量的模叫做复数)的模，记为或

                  公式：，其中

复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；                 

特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).

(5)共轭复数

①定义  

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

②表示方法

复数的共轭复数用表示，即如果，则.

知识点二：复数的运算

1．复数代数形式的加法运算及其几何意义

(1)复数的加法法则

(2)复数加法满足的运算律

对任意，有 

交换律：

结合律：

(3)复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.

2．复数代数形式的减法运算及其几何意义

(1)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

(2)复数减法的几何意义

3．复数代数形式的乘法运算

(1)复数的乘法法则

，

即

(2)复数乘法满足的运算律

(交换律)

(结合律)

(分配律)

4．复数代数形式的除法运算

(1)定义

规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或

(2)复数的除法法则

（）

由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.

知识点三：实系数一元二次方程的解法

1．根的判定

当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，

(1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

(3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.

2．根与系数的关系

如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，

3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法

(1)求根公式法

①时，

②<0时，

(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.

考点一 复数的概念和意义

1．下列说法正确的是（   ）

A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数

B．的平方根是

C．是纯虚数

D．若，则复数没有虚部

【答案】B

【解析】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；

B： 由，可知的平方根是，故B正确；

C： 当是实数，故C错误；

D： 若，则复数虚部为0，故D错误；

故选：B

2．若复数，为虚数单位，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】因为，所以，故选：C.

3．下列的取值中，使=1(是虚数单位）的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为,故选C.

4． 若，是虚数单位，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，，即，，所以．

故选：D．

5．若复数满足，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，则z的虚部6，故选：D.

6．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，因此，解得，

所以实数 和 的值分别是，故选：D.

7．已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，故选：D.

8．已知复数满足，且的共轭复数为，则（    ）

A． B．2 C．4 D．3

【答案】B

【解析】因为，所以，所以．故选：B.

9．在复平面内，点对应的复数为（为虚数单位），且向量 ，则点对应复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，由题意知，则由可得，则，即，则点对应复数为，故选：A.

10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______．

【答案】

【解析】因为为纯虚数，则且，所以，所以，故答案为：.

考点二 复数的运算

11．化简下列复数

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1）.

（2）.

12．在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限，故选：B.

13．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.

14．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，故选：D．

15．设，则复数对应的点在（      ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】设，则，所以，，故，，则，因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.

16．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 在复平面内对应的点在第三象限，, 即 ， 实数 的取值范围是 ，故选：A.

17．已知复数z满足，则（      ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【解析】由，得，所以，故选：A.

18．若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故，故选：A.

19．若,则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】,则,所以，故选:A.

20．已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由复数的乘法运算可知，，因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，，故选：B.

考点三 实系数一元二次方程的解法

21．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则       ．

【答案】0

【解析】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，

则，即，，，故答案为：0.

22．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝           ．

【答案】19

【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，

所以，解得，所以，故答案为：19.

23．若实系数方程的一个根是，则__________．

【答案】1

【解析】因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，根据韦达定理可得，所以，又，所以，所以，故答案为：.

24．已知是关于的方程的一个根，则实数            ．

【答案】12

【解析】设方程的另一个根为，由根与系数的关系：，故答案为：12.