【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 拓展模块上册 单元复习 第2章 平面向量 知识点复习-讲义

知识点一：向量的概念

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模).

向量表示方法：向量或；模或.

(2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是.

(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；

特别的：与任一向量平行或共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.

知识点二：向量的线性运算

1．向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.

(2)向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

(3)向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

2．向量的减法

(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.

(2)向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示

如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.

3．向量的数乘

(1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：

①

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.

4．共线向量定理

(1)定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.

(2)向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

知识点三：向量的内积

1．两个向量的夹角

(1)定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作．

(2)性质：当时，与同向；当时，与反向．

(3)向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。

2．向量数量积的定义

(1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)；

(2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；

(3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。

3．向量的投影及向量数量积的几何意义

(1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．

(2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．

(3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。

四、向量数量积的性质

设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则

(1)；

(2)；

(3)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；

(4)；

(5)

知识点四：向量的坐标表示

1．平面向量的坐标运算

(1)向量加减：若，则；

(2)数乘向量：若，则；

(3)若，则

(4)任一向量：设，则.

(5)若，则的充要条件为.

(6)向量数量积：若，则；

(7)若向量，则

考点一 向量的概念

1．下面关于向量的说法不正确的是　　

A．单位向量：模为1的向量                     B．零向量：模为0的向量 

C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量     D．相等向量：模相等，方向相同的向量

2．下列命题中正确的是（    ）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上

3．下列说法正确的是　　

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 

C．向量的大小与方向有关 

D．向量的模可以比较大小

4． 如图所示，中，三边长均不相等，、、分别是，，的中点．

（1）写出与共线的向量； （2）写出与长度相等的向量； （3）写出与相等的向量．

5．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：

（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是与同向的单位向量，则＝.

其中正确的是________.(填序号)

6．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

考点二 向量的线性运算

7．的化简结果为（    ）

A． B． C． D．

8．下列计算正确的个数是　　

①；②；③．

A．0 B．1 C．2 D．3

9．化简下列各式：

（1）；   （2）；

（3）；                    （4）．

10．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．

11．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．

考点三 向量的内积

12．已知向量、满足，，且，那么（        ）

A． B． C． D．

13．设是任意向量，则下列结论一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

14．若的夹角为，则（  ）

A． B． C． D．2

15．已知等边三角形ABC的边长为2，则（       ）

A．2 B． C． D．

16．已知 ，向量 的夹角为，则 （    ）

A． B．1 C．2 D．

17．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（    ）

A． B．7 C． D．3

18．已知，与的夹角是.

（1）求的值及的值；

（2）当为何值时，？

考点四 向量的坐标表示

19．已知向量，，则（  ）

A．2 B．3 C．4 D．5

20．已知向量，，则与的夹角为（      ）

A． B． C． D．

21．已知，向量，若，则实数（  ）

A． B． C．-2 D．2

22．已知向量,则k=(     )

A.-12        B.-6       C.6        D.12

23．已知向量,若,则实数λ= (    )

A.             B.           C.-2          D.2

24．已知向量.

(1)求的值;

(2)求向量与夹角的余弦值.

25．已知向量,向量.

(1)求向量的坐标;

(2)若,求实数k的值.