高中人教A版 (2019)第三章函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练

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这是一份高中人教A版 (2019)第三章函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练，共17页。试卷主要包含了已知，设函数，其中为常数且，已知函数是奇函数等内容，欢迎下载使用。

1．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为
A．2B．3C．4D．无数
2．若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”．若函数（其中为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数的取值范围为
A．B．C．D．
3．已知函数，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二．填空题（共4小题）
4．已知．
（1）；
（2）若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是．
5．已知函数，若对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是．
6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．请问：
若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是．
7．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为．
三．解答题（共4小题）
8．对于定义域分别是，的函数，，规定：函数
．
（Ⅰ）若函数，，，写出函数的解析式并求函数值域；
（Ⅱ）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
9．设函数，其中为常数且．新定义：若满足，但，则称为的次不动点．
（1）当时，分别求和的值；
（2）求函数在，上的次不动点．
10．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
11．已知函数，且的解集为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，是正实数，且，证明：．
3.4函数的应用（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为
A．2B．3C．4D．无数
【分析】作出的函数图象，由不等式表示的几何意义，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出的函数图象如图所示：
表示点，与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点，为整数）和点所在直线的斜率大于0，
而点在到直线上运动，
由，（1），（2），
可得当时，只有点满足；
当时，只有点满足．
综上可得的范围是，，．
故满足条件的整数有：，0，1，2共四个．
故选：．
【点评】本题考查了分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．
2．若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”．若函数（其中为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】求出当时关于原点对称的函数，条件转化为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：当时，关于原点对称的函数为，
即，，
设，，
条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，
则，，
当时，函数取得最大值（e），
当时，，．
由得，此时为增函数，
由得，此时为减函数，
即当时，函数取得极小值同时也是最小值（e），
作出当时，与的图象如图：
要使两个图象恰好有两个不同的交点，
则（e）（e），即，
即，
即，
故选：．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．考查学生的作图能力．
3．已知函数，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】令，根据题设条件求出的表达式，画出其图象，再对进行讨论，求出的最大值的表达式，进而解决其范围问题．
【解答】解：函数，，令，
其图象如下图所示：①当时，，此时；
②时，
；
③当时，，此时，
④当时，
；
⑤当时，，，，此时．
综上，最大值的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题主要考查分段函数的图象及解决含参数最值问题的能力，属于一道有难度的题．
二．填空题（共4小题）
4．已知．
（1） 1 ；
（2）若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是．
【分析】（1）直接把代入已知函数解析式求得的值；
（2）令，根据题设条件求出的表达式，画出其图象，再对进行讨论，求出的最大值的表达式，进而求得结论．
【解答】解：（1），；
（2），
令，
其图象如下图所示：
①当时，，此时；
②当时，
；
③当时，，此时，
④当时，
；
⑤当时，，，，此时．
综上，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是，．
【点评】本题考查分段函数的图象及函数最值的几何意义，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想，属难题．
5．已知函数，若对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是．
【分析】根据题意有2 ；再分段求出每一段函数的最值，第一段为常见函数的单调性问题，第二段是一次型函数模型，讨论出函数的最大值和最小值．
【解答】解：对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形；
则对于任意的实数，，，，都有；
即2 ；
（1）当时，，在，上单调递减，在，上单调递增；
（2），（6），．
（2）当时，
①若，；
②若，，
③若，；
当时，，若，则；
若，则，所以，则；
即此时；
当时，，若，则；若，则，所以，则．
即此时；
所以的范围是：．
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的最值问题、分类讨论思想，等价转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．请问：
若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是，．
【分析】时，求出的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．
【解答】解：依题意，图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上，
因为，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
所以的取值范围是，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，属于难题．
7．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为，1，2，3，4，7，．
【分析】由方程有或，根据的范围结合的图象讨论这两个方程的根的个数之和．
【解答】解：当时，函数的图象如下：
当时，图象就是将当时，函数的图象进行上下平移而得到；
方程有，，或；
当时，方程有1个实数根；
当时，有一个实根，有一个实数根；则方程有2个实数根；
当时，有4个实根，有4个实数根；则方程有8个实数根；
当时，有3个实根，有4个实数根；则方程有7个实数根；
当时，没有实根，有4个实数根；则方程有4个实数根；
当时，没有实根，有3个实数根；则方程有3个实数根；
当时，没有实根，没有实数根；则方程有0个实数根；
故则的取值集合为，1，2，3，4，7，
【点评】本题考查符合方程的根的情况，分解为方程组来解决，考查数形结合的思想方法，属于难题．
三．解答题（共4小题）
8．对于定义域分别是，的函数，，规定：函数
．
（Ⅰ）若函数，，，写出函数的解析式并求函数值域；
（Ⅱ）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
【分析】先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段的值域，最后取并集即可得到分段函数的值域；
（Ⅱ）构造，求出，进而可证明．
【解答】解：，则，
当时，；
当时，．
所以．
当时，，，此时；
当时，，此时，
所以函数的值域为．
（Ⅱ）令，
则，
于是．
【点评】本题考查分段函数的及其应用，考查函数解析式及其值域的求法，考查转化思想与分类讨论思想，考查数学抽象的核心素养，属于难题．
9．设函数，其中为常数且．新定义：若满足，但，则称为的次不动点．
（1）当时，分别求和的值；
（2）求函数在，上的次不动点．
【分析】（1）直接代值计算即可；
（2）根据新定义，当时，或当时，分类讨论，根据新定义即可得到所求．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，
；
（2）中，时，值域也是，，
又，，
，
由，得，
当时，，
由，解得，
，即不是的次不动点；
同理，当时，，
，
由，解得，
而，
即是的次不动点；
当时，由，解得，
由于，故不是的次不动点．
当时，由，解得，，
，
故是的次不动点．
因此，函数有且仅有两个次不动点，，．
【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，考查方程思想，转化化归思想及运算能力，难度较大，综合性强．
10．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，又由函数为奇函数，分析可得，解可得的值；
（2）结合函数的图象，分析可得答案．
【解答】解：（1）设，则，
所以．
又为奇函数，所以，
于是时，，所以．
（2）要使在，上单调递增，
结合的图象知所以，故实数的取值范围是，．
【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性，注意结合函数的图象分析函数的单调性．
11．已知函数，且的解集为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，是正实数，且，证明：．
【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集，进行求解即可求的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，，故（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又，，是正实数，
由均值不等式得：
当且仅当时取等号（10分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键