四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷题

本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；

2.选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；

3.请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 的平方根为（    ）

A.  B.  C. 3 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】根据平方根的定义即可得到答案.

【详解】，则9的平方根为，

故选：A.

2. 下列各式，运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用指数的运算性质即可求解.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误；

故选：C

【点睛】本题考查了指数的运算性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.

3. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记数字6对面的数字为，数字2对面的数字为，那么的值为（    ）

A. 3 B. 7

C. 8 D. 11

【答案】B

【解析】

【分析】

从小立方体上的数推测，，即求解.

【详解】从个小立方体上的数可知，

与写数字的面相邻的面上数字是，

所以数字的对面是数字，

同理，立方体面上数字对，

故立方体面上数字对，

则，，

所以.

故选：B

点睛】本题主要考查了空间想象能力以及分析能力，

4. 点，在反比例函数的图象上，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

应先根据反比例函数的比例系数判断出函数图象所在的象限，然后根据点所在象限以及相对应的值对应的值的符号即可求解．

【详解】由于小于0，说明函数图象分布在二四象限，

若，说明在第二象限，在第四象限．

第二象限的值总大于0，总比第四象限的点的值大．

所以．

故选：．

【点睛】本题考查反比例函数在二，四象限的图象性质．本题考查的知识点为：时，在每个象限内，随的增大而增大．

5. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意得，

则在集合中去掉元素2即为阴影部分表示的集合：.

故选：B.

6. 在中，，，，点在边上，，的半径长为3，若与相切，且点在内，则的半径长度为（    ）

A. 2或8 B. 5或8 C. 5 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

可判断两圆内切，则的半径，即求出.

详解】

如图，，

要使与相切，且点在内，则两圆内切，

设的半径为，

则.

故选：D.

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.

7. 数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入数据，则对这个数据，下列说法正确的是（    ）

A. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大

B. 年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大

C. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变

D. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

【答案】A

【解析】

【分析】

结合平均数，中位数，方差的定义，当插入大的极端值时，平均数增加，中位数可能不变，方差会因为数据的分散而变大.

【详解】解：因为数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，

所以世界首富的收入会远远大于，，…， ，故这个数据的平均数会大大增加；

而中位数为数据中间的数或中间两个数的平均数，所以中位数有可能不变；

因为世界首富的收入远远大于，，…，，所以数据的集中程度受的影响很大，数据离散程度加大，所以方差变大.

故选：A

【点睛】本题考查平均数、中位数、方差的定义以及插入极端大的数值对平均数、中位数、方差的影响，熟悉平均数、中位数和方差的定义是解题的关键，属于基础题.

8. 一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为.现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（    ）

A. 米 B. 米

C. 米 D. 米

【答案】D

【解析】

【分析】

求出，即可求解.

【详解】在中，（米），

（米），

地毯的面积至少需要

（米）.

故选：D

【点睛】本题考查了长方形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，朝上的面的点数记为，计算，则其结果大于的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，得到任意抛掷一次骰子所得结果包含的基本事件个数，以及满足的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.

【详解】由题意，任意抛掷一次骰子，所得朝上的面的点数可能取的值为1，2，3，4，5，6，共个基本事件；

满足的可能取的值为6，即只包含一种情况，

因此所求概率为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.

10. 若关于的不等式组的解是，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出的解，再与取交集，利用已知条件即可得出结果.

【详解】由题意得：

，

又，且不等式组的解是，

则.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了利用不等式组的解集求参数的问题.属于容易题.

11. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ）

A 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】解出一元二次不等式，再利用集合子集个数公式即可得到答案.

【详解】，解得，则，

若，则，

故满足条件的集合的个数为，

故选：D.

12. 对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出抛物线与轴两个交点坐标，然后由题意得到，进而求出的值.

【详解】令，

即，

解得或，

故抛物线与轴的交点为，

由题意得，

则

.

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题，共114分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.

13. 已知对任意的，，都有则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用给定的公式代入计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

14. 底面圆半径为，高为的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据底面半径以及圆锥的高求出圆锥的母线长度，再根据弧长公式即可求解.

【详解】底面圆半径为，高为的圆锥，

则母线长，

设侧面展开扇形圆心角为，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了弧长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

15. 已知，，若集合，则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验即可.

【详解】根据题意，，故，则，

故，则，

当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，

当时，，符合题意，

.

故答案为：.

16. 若，则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，得到，结合立方和公式，即可求解.

【详解】由，可得，即，

又由.

故答案为：.

17. 如果关于的分式方程无解，则的值为__________.

【答案】5或2

【解析】

【分析】先移项通分，转化为一次方程无解问题或观察得出.

【详解】当时，，方程可化为，此时无解；

当时，，

易知且，整理得，若，此方程无解，

故答案为：5或2.

18. 对于正数，规定，计算__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据条件得到时，，设，利用倒序相加法即可求解.

【详解】因为时，，

则当时，，所以，

设①，

则②，

所以①②得：，

即，所以，

故答案为：.

三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19. （1）计算：.

（2）先化简，再求值：，其中.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先算开方，绝对值，零次幂和乘方，最后算加减法即可；

（2）先化简原式，再把代入求解即可.

【详解】（1）

；

（2）原式，

把代入得原式

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及化简求值问题.属于较易题.

20. 某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）求上表中的数据、的值；

（2）通过计算，补全频数分布直方图；

（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？

（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？

【答案】（1），；（2）图见解析；（3）分；（4）.

【解析】

【分析】（1）根据频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得、的值；

（2）计算出至分段以及至分段的人数，由此可补充条形图；

（3）根据中位数的定义以及条形图可得出中位数所在的分数段；

（4）计算出比赛成绩在分的选手所占的频率，由此可得出结论.

【详解】（1）总人数（人），，；

（2）由（1）的计算知至分段的人数为人，

至分段的人数为人，

补全条形图如下图所示：

（3）比赛成绩在的人数为，比赛成绩在的人数为，

因此，比赛成绩的中位数落在分；

（4）恰好抽中获奖选手的概率为：.

【点睛】本题考查条形图的应用，同时也考查了中位数、频率的计算以及条形统计图的完善，属于基础题.

21. 已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点.

（1）求的值；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求出一次函数的解析式，求出，，．得到，，即可得解；

（2）取点关于原点的对称点，则问题转化为求证，证明即得证.

【详解】（1）由，解得，所以.

所以，，．

在中，，，

；

（2）证明：取点关于原点的对称点，

则问题转化为求证．

由勾股定理可得，，，，

，

是等腰直角三角形．

所以．

．

【点睛】本题主要考查一次函数的解析式的求法和平面几何选讲，考查锐角三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造.根据预算，共需资金1575万元.改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元.

（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县类学校不超过5所，则类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案？

【答案】（1）60万元和85万元；（2）15所；（3）4种方案.

【解析】

【分析】

（1）先设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元，根据题中条件列出方程组求解，即可得出结果；

（2）设该县有、两类学校分别为所和所，根据题中条件，得到，由题意列出不等式求解，即可得出结果；

（3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，由题意列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（1）设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元.

依题意得：，

解之得.

答：改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元.

（2）设该县有、两类学校分别为所和所.则

，

，

∵类学校不超过5所，∴，∴，

即：类学校至少有15所.

（3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，依题意得：

，

解之得.

∵取整数，∴，即：共有4种方案.

【点睛】本题主要考查等式与不等式的应用，属于初高中衔接内容，是基础题.

23. 如图，内接于半圆，是直径，过作直线使.是弧的中点，交于，于，交于.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）求证：.

（3）若的面积为，且，，求的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）16.

【解析】

【分析】（1）根据题中条件，由角之间的关系，证明，即可得出结论成立；

（2）先由题意，得到，，再由，推出，即可得出结论成立；

（3）连结，根据题中条件，证明，得出，进而可得出结果.

【详解】证明：（1）∵是直径，

∴，.

∵，∴，即，

∴是半圆的切线.

（2）如图，∵是弧的中点，

∴，

∵是直径，∴，故，

∵，∴，

∴，

∴.

（3）连结，则，

∵，是弧的中点，∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题主要考查平面几何的证明，以及由三角形相似求三角形面积，属于中档题型.

24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧.点的坐标为，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；

（3）若点在轴上，点在抛物线上.是否存在以、、、为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，.

【解析】

【分析】（1）将两点坐标代入抛物线方程即可求出解析式；

（2）过点作轴分别交线段和轴于点，，则 ，根据的取值可求出最大值；

（3）分两种情况，①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，分别求出P的坐标即可.

【详解】（1）∵点，，，

把，代入得：

，解得：，，

∴所求抛物线的解析式为.

（2）过点作轴分别交线段和轴于点、.

∵对称轴，，∵点，

∴，

易得直线的解析式为，

令，，其中，

.

当时，有最大值3，

此时四边形面积有最大值.

（3）如图，有如下情况：

①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，

此时四边形为平行四边形，∵，

令得：，，

∴点.

②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，

当时，四边形为平行四边形，

∵，∴由对称关系令，由

化简得：，解得或，

此时存在点和.

综上，存在3个点符合题意，坐标分别是，，.

【点睛】本题考查二次函数与几何结合的综合问题，属于中档题.

25. 如图1，已知直线与轴、轴分别交于点和点，过直线上的两点、分别作轴的垂线段，垂足分别为和，其中，.

（1）如果，，试判断的形状；

（2）如果，（1）中有关的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，题目中的条件不变，如果，并且，求经过、、三点的抛物线所对应的函数关系式；

（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段交于点，点是对称轴上一动点，以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形相似，求符合条件的点的坐标.

【答案】（1）直角三角形   

（2）成立，证明见解析   

（3）    

（4），.

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理求出相关线段，再利用勾股定理逆定理即可；

（2）求出，再利用勾股定理和勾股定理逆定理即可证明；

（3）利用待定系数法，利用二次函数一般式或交点式均可；

（4）作出点位置，利用三角形相似求出相关线段长即可.

【小问1详解】

是直角三角形.

依题意得，，，∴

在中，

在中，

∴

∴是直角三角形.

  【小问2详解】

（1）中的结论还成立.

依题意得，，

∴，

∴，

∵，∴，

又∵在中，，

在中，，

∴，

∴.

∴是直角三角形..

【小问3详解】

∵，，∴.

方法一：设抛物线的函数关系式为.

∵抛物线经过点、和，

∴，∴

∴所求抛物线的函数关系式为.

方法二：设抛物线的函数关系式为.

∵抛物线经过点，∴解得，

∴所求抛物线的函数关系式为，

即.

  【小问4详解】

抛物线的对称轴与轴的交点符合条件，

∵，，∴

∵抛物线的对称轴为，∴，

∴.

过点作，交抛物线的对称轴于点.

∴、、和两两相似，

∴，即.

∵点位于第四象限，∴.

因此，符合条件的点有两个，分别是，.