北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布同步测试题

第六章§5　正态分布

A级 必备知识基础练

1.已知随机变量X~N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,则P(-2<X≤2)=(　　)

A.0.477 B.0.628 

C.0.954 D.0.977

2.在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115]内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该学生成绩高于115的概率为(　　)

A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5

3.(多选题)[2023江苏高二校联考期末]已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量(单位:斤)分别服从正态分布N1(μ1,),N2(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.乙品种水蜜桃的平均质量μ2=0.8

B.甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99

4.(多选题)[2023山西太原高二校考期中]已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4),则(　　)

A.Dξ=4 B.Dξ=16

C.D(2ξ+3)=8 D.D(2ξ+3)=16

5.(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是(　　)

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6.

A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280]的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量的均值约为250

B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在(280,320]的概率约为0.341 3

6.一年时间里,某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动,据统计,他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位:时)近似服从正态分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275,估计该校高一年级学生人数为　　　　. 

7.某工厂包装白糖的生产线,正常情况下包装出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).

(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485 g的概率约为多少?

(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485 g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.

附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.

B级 关键能力提升练

8.已知随机变量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,则P(4<X≤7)=(　　)

A. B. C. D.

9.某中学有2 000人参加2022年的市模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在105分到120分(含105分和120分)之间的人数约为(　　)

A.300 B.400 C.600 D.800

10.[2023陕西西安中学校考模拟预测]下列判断错误的是(　　)

A.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.79,则P(ξ≤-2)=0.21

B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差不变

C.若随机变量ξ服从二项分布ξ~B5,,则E(2ξ-1)=1

D.若方差DX=3,则D(2X+1)=7

11.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率为　　　　　;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次参加考试的学生成绩特别优秀的概率为　　　　　.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4) 

12.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10 000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:

从第一段生产的半成品中抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图:

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.

(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;

(2)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;

(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80,22),且不影响产量.请你帮该公司做出决策,决定是否要购买该设备.说明理由.

(参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4)

C级 学科素养创新练

13.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);

(2)由频率分布直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤.利用频率分布直方图得到的正态分布,求P(X≤10).

②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.

参考数据:,0.773 419≈0.007 6.若 Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.

参考答案

§5　正态分布

1.C

2.C　由学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),且P(85<ξ≤115)=0.75,

得P(ξ>115)==0.125.

故选C.

3.ABC

4.AD　因为随机变量ξ服从正态分布N(1,4),所以Dξ=4,故A正确,B错误;D(2ξ+3)=22·Dξ=16,故D正确,C错误.故选AD.

5.ABD　μ+30=280,μ=250,A正确;

因为σ越小总体分布越集中,且30小于40,B正确,C不正确;

P(280<X≤320)=P(μ<X≤μ+σ)≈0.6826=0.3413,D正确.

6.1 500

7.解 (1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,由题意可知X~N(500,52).

由于485=500-3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)=[1-P(500-3×5<X≤500+3×5)]0.0026=0.0013.

(2)检测员的判断是合理的.

因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于485g的概率约为0.0013×0.0013=0.00000169=1.69×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.

8.B

9.C　由题意,随机变量X~N(105,σ2),即μ=105,即正态分布曲线的对称轴为μ=105,因为P(X<90)=P(X>120)=,所以P(90≤X≤120)=1-,所以P(105≤X≤120)=P(90≤X≤120)=,所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为2000=600,故选C.

10.D　A选项,由题意,1-P(ξ<4)=P(ξ≥4)=0.21,又随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≥4)=P(ξ≤-2)=0.21,故A选项正确;B选项,每一组数据均减去一个数字,不影响整体的稳定程度,故方差不变,B选项正确;C选项,因为随机变量ξ服从二项分布ξ~B5,,Eξ=5=1,E(2ξ-1)=2Eξ-1=1,故C选项正确;D选项,因为方差DX=3,D(2X+1)=22DX=12,故D选项错误.故选D.

11.0.158 7　0.022 8　因为数学成绩服从正态分布N(100,17.52),则P(100-17.5<X≤100+17.5)=P(82.5<X≤117.5)≈0.6826,所以此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率P(X≤82.5)==0.1587.

又因为P(100-17.5×2<X≤100+17.5×2)=P(65<X≤135)≈0.9544,所以此次参加考试的学生成绩特别优秀的概率P(X>135)==0.0228.

12.解 (1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.

(2)由频率分布直方图知,第一段生产的半成品质量指标

P(X≤74或X>86)=0.25,

P(74<X≤78或82<X≤86)=0.45,P(78<X≤82)=0.3,

设生产一件产品的利润为X元,则

P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,

P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,

P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,

所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),

所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.

(3)需购买该设备.

因为μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,设引入该设备后生产一件成品利润为Y元,

则P(Y=100)=0.0026×0.2+0.3148×0.4+0.6826×0.6=0.536,

P(Y=60)=0.0026×0.3+0.3148×0.3+0.6826×0.3=0.3,

P(Y=-100)=0.0026×0.5+0.3148×0.3+0.6826×0.1=0.164,

所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),

所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元,增加收入55.2-30-20=5.2(万元),

综上,应该购买该设备.

13.解 (1)=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,

s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.

(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,

∴X~N(9,1.78),

σ=

∴P(X≤10)=P(Y≤0.75)=0.7734.

②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.2266,

可得Z~B(20,0.2266),

P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)

=1-0.773420-0.2266×0.773419

=1-(0.7734+20×0.2266)×0.773419

≈0.9597.

∴Z的数学期望EZ=20×0.2266=4.532.