高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布课后练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　§5　A　组·素养自测一、选择题1．已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，若X落在区间(－2，－1)和(1,2)的概率分别为p1，p2，则(　C　)A．p1>p2　　 B．p1<p2　　C．p1＝p2　　 D．不确定[解析]　易知标准正态分布密度曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2.2．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>m－1)＝P(X<2m＋1)，则m＝(　B　)A．　　 B．　　C．　　 D．2[解析]　∵P(X>m－1)＝P(X<2m＋1)，∴m－1＋2m＋1＝4，解得m＝，故选B．3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(1<ξ≤3)＝(　B　)(参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4)A．0.682 6　　 B．0.341 3　　　　C．0.954 4　　 D．0.477 2[解析]　由ξ～N(1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－σ＝－1，μ＋σ＝3，∴P(1<ξ≤3)＝P(－1<ξ≤3)＝0.341 3，故选B．4．某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ(单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　B　)A．5份　　 B．10份　　　　C．15份　　 D．20份[解析]　由题意易知P(ξ>100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80<ξ≤100)＝0.45.∴P(ξ>120)＝P(ξ>100)－P(100<ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.5．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>8－m)＝(　C　)A．0.2　　 B．0.3C．0.7　　 D．与σ的值有关[解析]　由随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，知正态曲线的对称轴为直线x＝4，又＝4，且P(X>m)＝0.3，则由正态曲线的对称性得，P(X<8－m)＝P(X>m)＝0.3，故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.6．(多选)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，则下列正确的是(　ACD　)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10[解析]　∵其密度函数为f(x)＝e－ (x∈R)，∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10.从图形上看，它关于直线x＝80对称，且50与110也关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．故选ACD．二、填空题7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为_1__.[解析]　正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在_505__分(已知Φ(0.25)＝0.6)．[解析]　∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X<f)＝1－Φ.又Φ(0.25)＝0.6，∴＝0.25，∴f＝505分．三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．[解析]　(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝[1－P(0<X≤4)]＝(1－0.4)＝0.3.10．已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其概率密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度函数的表达式；(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．[解析]　设农民工年均收入X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布的概率密度函数表达式为φμ，σ(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．(2)因为P(7 500<X<8 500)＝P(8 000－500<X<8 000＋500)≈0.683.所以P(8 000<X≤8 500)＝P(7 500<X≤8 500)≈0.341 5＝34.15%.即农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比约为34.15%.B　组·素养提升一、选择题1．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　B　)A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常[解析]　∵零件外直径X～N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2,10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异常．∵9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B．2．如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下列式子中，表示图中阴影部分面积的为(注：Φ(a)＝P(X<a))(　C　)A．－Φ(a)B．Φ(1－a)C．Φ(a)－D．Φ(0)[解析]　∵Φ(－a)＝P(X<－a)，∴图中阴影部分的面积为－P(X<－a)＝－Φ(－a)，又根据性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1，可得－Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－，∴C正确．3．用Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则概率P(|ξ－10|<0.1)等于(　C　)A．Φ(－9.9)　　 B．Φ(10.1)－Φ(9.9)C．Φ(1)－Φ(－1)　　 D．2Φ(10.1)[解析]　若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则Z＝～N(0,1)．又Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，所以P(|ξ－10|<0.1)＝P＝P(－1<Z<1)＝Φ(1)－Φ(－1)，故选C．4．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走的步数(单位：千步)的频率分布直方图如图所示．该单位员工日均健步走的步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为(附：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954.)(　D　)A．103　　 B．105　　C．107　　 D．108[解析]　由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值μ＝1×0.04＋3×0.08＋5×0.16＋7×0.44＋9×0.16＋11×0.1＋13×0.02＝6.96≈7.设随机变量日均健步走的步数为X，则X～N(7，6.25)，∴μ＝7，σ＝2.5，则μ－σ＝4.5，μ－2σ＝2，∴P(2≤X≤4.5)＝×(0.954－0.683)＝0.135 5.∵800×0.135 5≈108，∴日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为108.故选D．二、填空题5．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝___，b＝_－1__.[解析]　∵随机变量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1.∴a＝，b＝－1.6．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设每个电子元件的使用寿命Z(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,1002)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 100 小时的概率约为___.附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈.[解析]　∵每个电子元件的使用寿命Z均服从正态分布N(1 000,1002)，且P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈，∴每个电子元件的使用寿命超过1 100小时的概率P(Z>1 100)≈，故该部件的使用寿命超过1 100小时的概率约为×＝.三、解答题7．3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：μm).序号12345678910内径979798102105107108109113114(1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)．该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86,95,103,109,118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？[解析]　(1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝×[(－8)2＋(－8)2＋(－7)2＋(－3)2＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36，所以σ＝6.(2)需要进一步调试. 理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝P(87<Z<123)≈0.997，零件内径在(87,123)之外的概率只有0. 003，而86∉(87,123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．8．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.954.[解析]　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z服从正态分布N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z< 200＋12.2)≈0.683.②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知X～B(100,0.683)，所以E(X)＝100×0.683＝68.3.