高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布课文配套课件ppt

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第六章 概率
§5 正态分布
课标要求
1.了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
素养要求
通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间； (3)某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取(0，＋∞)内的一切值. 提示　(1)是，(2)(3)不是.
2.思考　频率分布直方图随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 提示　存在.
(2)若随机变量X的分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为____________________.(3)正态曲线的性质①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的______.
正态分布
正态曲线
X～N(μ，σ2)
上方
②对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称.
x＝μ
④当|x|无限增大时，曲线无限接近____轴.⑤当____一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图①.⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示总体的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示总体的分布比较______，如图②.
x＝μ
x
σ
μ
分散
(4)3σ原则P(μ－σ(2)若x～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2.(3)曲线与x轴之间的面积为1.
C
解析　由条件可知μ＝0，σ＝2.
D
(2)设随机变量X～N(μ，σ2), 且P(X≤c)＝P(X＞c), 则c等于(　　)A.0 B.σC.－μ D.μ
解析　由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　 　) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
BCD
解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
(2)如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差.
ABC
解析　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确，∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
(2)(多选)下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线，则下列说法正确的是(　 　)A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好
ACD
解析　正态曲线中的参数μ，σ分别表示随机变量的均值和标准差.由图象可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，故它们的时间误差的均值相等，A正确，B错误；再根据图象的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，故C，D正确.
例2 设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤X≤3)；
(2)P(3≤X≤5).
解　∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6.(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，∴P(3≤X≤5)
迁移1 (变换所求)例2条件不变，求P(X≥5).
迁移2 (变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(　　) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析　∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(X＜4)＝0.8， ∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2， ∴P(0＜X＜4)＝0.6. ∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.
C
利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.
训练2 设X～N(1，1)，试求： (1)P(0(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，
例3 某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 解　由于外直径X～N(4，0.52)， 则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 4，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 6，而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？ 解　∵成绩服从正态分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x名同学，则x·34.13%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%. 即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.
课堂小结
1.牢记两个知识点：(1)正态曲线及其特点；(2)正态分布的性质及其应用.2.掌握两种方法：数形结合，转化与化归.3.辨清一个易错点：概率区间转化不对称.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 解析　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
C
2.某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　) A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常
A
解析　因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3∉I.故选A.
3.设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6
B
4.(多选)随机变量X服从正态分布N(90，52)，则下述正确的是(　　) A.EX＝90 B.DX＝5 C.P(X>100)＝P(X<80) D.P(X>100)>P(X<100) 解析　由随机变量X服从正态分布N(90，52)，得正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝90.即EX＝90，故A正确；标准差为5，故B错误；由正态分布曲线的对称性得P(X>100)＝P(X<80)，故C正确；P(X>100)AC
5.红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙.为“948”项目引进品种.该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，座果率高、投产早、极耐储藏，冷库储藏期达4个月以上.该品种作为新特品种极具推广价值.据统计，红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200，102)，则重量在(190，220]内的概率为(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σC
解析　由红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200，102)，可得μ＝200，σ＝10，
6.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝__________.
7.设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(21－2p
即P(235
50
解析　由题意可知峰期后移了70－35＝35(天)；
9.设X～N(3，42)，试求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11).解　∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6.
(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，
10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解　还有7分钟时： 若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率
若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率
因为P1二、能力提升
ACD
12.(多选)为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N(70，100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σBC
13.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
解　抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
解　①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8≤Z≤212.2)＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)＝P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以EX＝100×0.682 6＝68.26.
14.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用298名职员，其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2 000名，考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名. (1)求最低录取分数(结果保留整数)；
三、创新拓展
解　设考生的成绩为X，由题意可知X服从正态分布，
则P(X<360)＝1－0.015＝0.985，
所以X～N(180，832).设最低录取分数为x0，则
解　考生甲的成绩286>266，所以能被录取
所以不低于考生甲的成绩的人数大约为(1－0.90)×2 000＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名，所以能获得高薪职位.