最新高考数学二轮复习-思想方法-第3讲-分类讨论思想-学案讲义

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方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
例1 (1)(2023·成都模拟)直线l过点(0,3)与圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0
B．3x＋4y－12＝0或4x＋2y＋1＝0
C．x＝0
D．x＝0或3x＋4y－12＝0
思路分析 设直线方程→k存在，l：y＝kx＋3→由圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.
答案 D
解析 将圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心C的坐标为(1,1)，半径为2.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，代入圆的方程得y2－2y－2＝0，
解得y1＝1＋eq \r(3)，y2＝1－eq \r(3)，
此时|AB|＝1＋eq \r(3)－(1－eq \r(3))＝2eq \r(3)，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，
由|AB|＝2eq \r(3)，得圆心C到直线l的距离为eq \r(22－\r(3)2)＝1，故eq \f(|k－1＋3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
故此时直线的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0，
综上可得，直线l的方程为x＝0 或3x＋4y－12＝0.
(2)已知数列{an}满足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，则下列选项不正确的是( )
A．{a2n－1}是等比数列
B.eq \i\su(i＝1,5, )(a2i－1＋2)＝－10
C．{a2n}是等比数列
D.eq \i\su(i＝1,10,a)i＝52
思路分析 an＋2－2an＝1－－1n→n为奇，{a2n－1}为等比数列；n为偶，{a2n}为等比数列.
答案 B
解析 对于A，当n是奇数时，an＋2－2an＝2，
所以an＋2＋2＝2(an＋2)，
又因为a1＝－2，所以a1＋2＝0，
所以当n是奇数时，an＋2＝0，即an＝－2，
即{a2n－1}是以－2为首项，1为公比的等比数列，
即选项A正确；
对于B，由A知，当n是奇数时，an＋2＝0，
所以eq \i\su(i＝1,5, )(a2i－1＋2)＝0，
即选项B错误；
对于C，当n为偶数时，an＋2－2an＝0，
即an＋2＝2an，
又因为a2＝2，所以eq \f(an＋2,an)＝2，
所以{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即选项C正确；
对于D，eq \i\su(i＝1,10,a)i＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝－10＋eq \f(2×1－25,1－2)＝52，
即选项D正确．
批注 涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第eq \f(n＋1,2)个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第eq \f(n,2)个偶数项．
规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏．
方法二 由图形位置或形状引起的分类讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 (多选)(2023·盐城模拟)已知P是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
思路分析 分类讨论点A的位置圆内、圆上、圆外→求||QO|－|QA||或|QA|＋|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状.
答案 ABC
解析 当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|＝|QA|，则||QO|－|QA||＝|OP|＝2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；
当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝2，又|AO|