数学九年级上册第4章 一元二次方程4.2 用配方法解一元二次方程练习

这是一份数学九年级上册第4章 一元二次方程4.2 用配方法解一元二次方程练习，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
2．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．D．
3．已知方程的两根分别为a，b，且，则的值是（ ）
A．-4B．C．4D．
4．若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的解正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式B．平方根的意义
C．等式的性质D．一元二次方程的求根公式
7．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．方程的根是（ ）
A．B．4C．或4D．无解
二、填空题
10．方程的根为 ．
11．已知函数（是常数）是正比例函 数，则的值为 ．
12． 一元二次方程的根是 ．
13．
14． = ．
15．利用配方法填空：x2-x+ =．
16．代数式的最小值是 ．
17．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ．
三、解答题
18．解方程
(1)；
(2)
19．，根据平方根的意义，直接开平方得，如果x换元为，即，能否也用直接开平方的方法求解呢？
20．．
21．【问题发现】我国数学家赵爽其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形均造成一个边长为（）的大正方形，中间恰好是一个长为2的小正方形，大正方形的面积可表示，也可表示，由此可得新方程，易得这个方程的正数解为．

【学以致用】请根据赵爽的方法回答下列问题：
（1）方程可变形为 ；
（2）能够得出上述方程的解的正确构图是 （填序号）；

【思维拓展】
（3）参照以上方法求出关于x的一元二次方程（）的正数解（用含b，c的代数式表示）．
22．先用配方法解下列方程：
①；②；③．
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？
（2）对于形如这样的方程，在什么条件下才有实数根？
23．阅读下列解题过程，在横线上填入适当的内容．
解方程：
解：移项得，①
两边同除以2得，②
配方得，③
即
∴或④
∴，⑤
(1)步骤②的依据是________
(2)上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________（填序号），错因是________．
(3)请直接写出该方程的根
24．我们可以利用配方法求一些多项式的最值．
如：，
，
．
当时，有最小值且最小值为2；
再如：，
，
，．
当时，有最大值且最大值为．
通过阅读，试求代数式的最小值或最大值．
25．最小值是多少？此时x的值是多少
26．已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
27．几何计算中，常利用面积法构造方程来求线段的长，请利用这种方法解决下列问题：
(1)如图①，中，，，，求边上的高；
(2)在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图②所示的图形，再将它分割成三块拼成如图③所示的长方形，已知、满足：，求剪去的小正方形的边长．
28．阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．将多项式-变形为的形式，然后由就可求出多项式的最大值．
例题：求的最小值．
解：．
因为不论取何值，总是非负数，即．所以．
所以当时，有最小值，且最小值是．
同理可求的最大值．
解：．
因为不论取何值，≥0，所以．所以．
所以当1时，有最大值，且最大值是4．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：－ ，所以的最小值为 ．
(2)已知是关于x的代数式，求的最大值（用含t的式子表示）．
(3)已知A、B是关于x的代数式，A=(6)(，B=2x（），求A－B的最值（用含a的式子表示）．
29．阅读材料：求y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4，
∵（y＋2）2≥0即（y＋2）2的最小值为0，
∴y2＋4y＋8的最小值为4
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式的最小值为 ．
（2）求4－x2＋2x的最大值．
（3）拓展：
①不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2y－4x＋6的值 ．（填序号）
A．总不小于1；B.总不大于1；C.总不小于6；D.可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 ．
30．【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
31．数学课上,老师展示了这样一段内容．
问题 求式子的最小值．
解:原式:
∵,
∴,
即原式的最小值是2．
小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？
（1）小丽写出了一些二次三项式:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥．
经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;
（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:
①;
②;
③．
请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．
说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．
32．设为实数，求代数式的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】利用直接平方法求解即可．
【详解】解：
直接开平方得：，
解得：，
故选：B．
2．C
【分析】根据直接开平方法求出方程的解即可．
【详解】解：
，
，
故选：C．
3．B
【分析】利用开平方法解方程得到a，b的值，代入即可得到答案．
【详解】解：
开平方得，，
解得，
∵方程的两根分别为a，b，且，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
方程有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥-4，
故选：D．
5．C
【分析】利用直接开平方法解方程．
【详解】解：
，
或，
解得，，
故选：C．
6．B
【分析】用直接开平方法解形如“（）”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．
【详解】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故选：B．
7．A
【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可．
【详解】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故选A．
8．D
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．
【详解】解：
，
故选D．
9．C
【分析】利用直接开方法求解即可．
【详解】解：，
开方得：，
即或，
解得：，.
故选C．
10．
【分析】直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
11．
【分析】由函数（是常数）是正比例函数，可得，，计算求解的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵函数（是常数）是正比例函数，
∴，，解得，，
∴，
故答案为：．
12. ，
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
可得，解得，，
故答案为：，．
13.
【分析】利用配方法整理即可．
【详解】解：
，
故答案为：3，
14．
【分析】根据完全平方式的结构求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：；．
15．
【分析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．
【详解】解：x2-x+=．
故答案为：．
16．3
【分析】将配方得到，由得到，即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，
代数式的最小值是3，
故答案为：3．
17．4
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则
，
∵，
∴，
即代数式的最小值等于4，
故答案为：4．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【详解】（1）
∴；
（2）
∴．
19．能用直接开平方的方法求解，解得，理由见解析
【分析】把变为上面的x，那么，即可解得．
【详解】解：能用直接开平方的方法求解，理由如下：
把看作x，即可得到，
即，
∴方程的两根为．
20．，
【分析】用直接开方法解方程即可．
【详解】
∴，
∴，
21．（1）；（2）②；（3）
【分析】（1）根据赵爽的办法解答即可；
（2）根据材料判断即可；
（3）根据题意把变形为，根据材料提供的方法求解即可得到答案．
【详解】解：（1）可变形为，
故答案为：；
（2）构造一个长、宽为x、面积为10的矩形；将4个矩形均造成一个边长为（）的大正方形，中间恰好是一个长为3的小正方形，大正方形的面积可表示，也可表示，由此可得新方程，可得这个方程的正数解为，
∴方程的解的正确构图是构造一个长、宽为、面积为10的矩形；
故选：②；
（3）∵
∴
构造一个长、宽为x、面积为的矩形；将4个矩形均造成一个边长为（）的大正方形，中间恰好是一个长为的小正方形，大正方形的面积可表示，也可表示，由此可得新方程，
∴
∴
∴
22．①；②无解；③；
（1）遇到平方等于负数的形式，则原方程无实数解；
（2）当时，原方程有实数解
【分析】先利用配方法解一元二次方程；
（1）根据配方法解方程发现平方等于负数的情形，则原方程无实数解；
（2）根据配方法解方程，根据二次根式的性质得出原方程有实数根的条件．
【详解】解：①；
即：，
∴，
即，
解得：；
②；
，
∵，
∴原方程无实数解
③．
，
解得：，
（1）在解方程②时，遇到平方等于负数的形式，则原方程无实数解；
（2）解：，
，
即，
∴当时，原方程有实数解．
23．(1)等式的基本性质2
(2)有，③，等号右边漏加上4
(3)，
【分析】（1）根据等式的两边同乘或同除一个不为0的数，等式仍然成立；
（2）第三步的时候，等式的右边没有加4，等式不成立；
（3）修改后，利用直接开方法求出方程的解即可．
【详解】（1）解：步骤②的依据是等式的基本性质2：等式的两边同乘或同除一个不为0的数，等式仍然成立；
（2）解：有错误，出现在第③步，配方时等式的右边没有加4；
（3）解：配方得： ，
即，
∴或，
∴，．
24．有最大值11，无最小值
【分析】配方可得：，即可确定代数式的最大值为11，无最小值．
【详解】，
，
，
有最大值11，无最小值．
25．最小值为12，x=1
【分析】将变形为，即可求解．
【详解】
，
∵，
∴，
∴的最小值为12，
当时，有，
即x=1，
答：的最小值为12，此时x值为1．
26．1，-2；11，9；证明见解析
【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：


而 则
即
27．(1)边上的高；
(2)剪去的小正方形的边长为
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后再利用等面积法进行计算即可解答；
（2）利用拆项配成两个完全平方式，然后求出m，n的值，再利用等面积法进行计算即可解答．
【详解】（1）∵，
∴
∴是直角三角形
过点作于点如图①
∵
∴；
（2）∵m2＋n2−8m−18n＋97＝0，
∴（m−4）2＋（n−9）2＝0，
∵（m−4）2≥0，（n−9）2≥0，
∴m−4＝0，n−9＝0，
∴m＝4，n＝9，
设剪去的小正方形的边长x，
∴（m＋2x）2−4x2＝mn，
∴（4＋2x）2−4x2＝4×9，
解得：x＝，
答：剪去的小正方形的边长为．
28．(1)5； -5
(2)t+16
(3)当＞0，有最大值6+ ；当=0，=6；当a＜0，有最小值6+
【分析】（1）原式配方后确定出所求，进而求出最小值即可；
（2）原式前两项提取−4变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质确定出最大值即可；
（3）把A与B代入A−B中化简，配方后确定出最值即可．
【详解】（1）x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，所以x2＋4x−1的最小值为−5．
故答案为：5；−5．
（2）=．
∵不论取何值，总是非负数，
∴，
∴0，
∴+16，
∴当2时，有最大值，最大值是t+16．
（3），
，
=+6+，
当＞0，有最大值6+；
当=0，=6；
当a＜0，有最小值6+．
29．（1）-2；（2）5；（3）①A；②6、7、8、9、10
【分析】（1）对式子利用配方法求解即可；
（2）对式子利用配方法求解即可；
（3）①对式子中的利用配方法求解即可；②对式子进行配方，求得的值，然后利用三角形三边关系求解即可．
【详解】解：（1）
∵
∴的最小值为
故答案为
（2）
∵
∴
∴，即的最大值为5
故答案为
（3）①
∵
∴的最小值为
故选A
②
∴，
由三角形三边关系可得：，即
又∵为最大的边
∴
又∵为正整数
∴6、7、8、9、10
故答案为6、7、8、9、10
30．（1）（x﹣2）2﹣9；（2）（x+5）（x﹣7）；（3）等边三角形，见解析；（4）见解析
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．
（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．
（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．
（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
31．（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析
【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到: ,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;
（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．
【详解】（1）①②③⑥
① 最小值为0
② ,
∵ ,
∴,即原式最小值5;
③ ,
∵ ,∴ ,
∴,即原式有最大值为4;
④,无法确定最值;
⑤,无法确定最值;
⑥ ,
∵ ,∴,
∴,即原式有最大值为;
（2）① 无最值
②
∵,
∴,
即原式有最小值为1
③
,
∵,,,
∴,
即原式有最小值为．
32．1
【分析】利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴的最小值为1．