初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程测试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.2用配方法解一元二次方程
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
．
2．如果一个一元二次方程的二次项是，经过配方整理得，那么它的一次项和常数项分别是（ ）
A．x， B． C． D．x，
【答案】C
【解析】
由题意得．∴．∴．∴．∴一次项为，常数项为．
3．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（ ）
①，②，③，④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】
∵，∴．∴．∴．即．∴从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．
4．用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
原方程为，二次项系数化为1，得．配方，得，∴．
5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
【答案】A
【分析】
根据配方法的步骤：①将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答．
【解析】
解：A、化为，即，此选项错误，符合题意；
B、化为，即，此选项正确，不符合题意；
C、化为，即，此选项正确不符合题意；
D、化为，即，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
6．已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【解析】
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
7．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】
设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【解析】
设，
则，，，
∴x2+y2+z2

=14k2+10k+6，
．
故最小值为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）

A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解析】
x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．下列各式：①；②；③；④；⑤变形中，正确的有（ ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
【答案】A
【分析】
利用配方法进行变形，逐个判断
【解析】
解：；①正确
，②错误；
，③错误；
，④正确
，⑤错误
故选：A．
【点睛】
本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤正确计算是本题的解题关键．
10．代数式的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．19 D．11
【答案】A
【分析】
把代数式根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．
【解析】
解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．
11．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】
把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【解析】
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
12．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【答案】B
【分析】
根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【解析】
解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
，
当时，取最小值为2013.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．


二、填空题
13．把方程用配方法化为的形式，则的值是________．
【答案】-3
【解析】
∵，∴．∴．∴．∴，．∴．
14．用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____．
【答案】1
【分析】
先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
【解析】
解：3x2-6x+2=0，


，即 m=1．
故填1．
【点睛】
本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．方程的根是___________．
【答案】
【分析】
根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根．
【解析】
解：∵．
∴配方得出，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题．
16．已知，，满足，，则的值是___________
【答案】4
【分析】
由a﹣b=8，得出a=b+8，进一步代入ab+c2+16=0，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步代入求得答案即可．
【解析】
∵a﹣b=8，
∴a=b+8，
∴ab+c2+16=b(b+8)+c2+16=(b+4)2+c2=0，
∴b+4=0，c=0，
解得：b=﹣4，
∴a=4，
∴2a+b+c=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
17．已知,,若的值为2014,则n的值为______ .
【答案】8或
【分析】
首先把变形为,再根据值为2014可得,再利用直接开平方法解方程即可.
【解析】
解：,
,
,
,
,
.
,
,,
解得：,,
故答案为：8或.
【点睛】
此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把变形.
18．已知是的三边，且满足，则这个三角形的形状是______________．
【答案】等边三角形
【解析】
【分析】
先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算．
【解析】
∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】
本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
19．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
【解析】
∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
【点睛】
本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.
20．已知，则的值等于______．
【答案】
【分析】
利用配方法将已知等式转化为的形式，由非负数的性质求得的值，然后代入求值即可．
【解析】
解：
，
则，，
所以，，
所以．
故答案是：．
【点睛】
考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
21．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．
【答案】36
【分析】
根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值．
【解析】
解：∵，
∴40≤；
∴
∴（m+6）2+（n-2）2≤0，
∵（m+6）2+（n-2）20，
∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，
∴
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
22．设实数，，满足，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】
先将已知等式变形可得，然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．
【解析】
解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
=
=
∵
∴≤
∴的最大值为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．

三、解答题
23．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
解：（1），
．
．
．
．
∴．
（2），
．
．
．
∴．
（3），
．
．
．
．
∴．
（4），
．
．
．
．
．
∴．
24．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】
（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；
（2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解；
（3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；
（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；
（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；
（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．
【解析】
（1）

配方，得，
．
（2）
移项，得．
配方，得．
，
原方程无实数根．
（3）
移项，得．
配方，得，
．
（4）
移项，得．
配方，得，
．
（5）
原方程化为一般形式为．
移项，得．
配方，得，
．
（6）
原方程化为一般形式为．
二次项系数化为1得．
配方，得，
．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．
25．用配方法说明：﹣9x2+8x﹣2的值小于0．
【答案】详见解析．
【分析】
先配方，然后根据非负数的性质进行证明即可．
【解析】
证明：﹣9x2+8x﹣2=﹣9(x2﹣x)﹣2
=﹣9(x2﹣x+﹣)﹣2
=﹣9(x﹣)2﹣
∵9(x﹣)2≥0，
∴﹣9(x﹣)2≤0，
∴﹣9(x﹣)2﹣＜0，
即﹣9x2+8x﹣2＜0
【点评】
本题考查了配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
26．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．
【分析】
把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．
【解析】
解：移项得：by2﹣y2＝2+1，
合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，
当b＝1时，原方程无解；
当b＞1时，原方程的解为y＝±；
当b＜1时，原方程无实数解．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．
27．试证：不论当为何值时，多项式的值总大于的值.
【答案】证明见解析
【分析】
比较大小常用的方式：利用完全平方公式证明两个多项式的差恒大于零即可解答.
【解析】
因为，
所以原题得证.
【点睛】
本题考查利用完全平方公式比较多项式的大小，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
28．李老师在课上布置了一个如下的练习题：
若，求的值．
看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：
解：，①
，②
．③
晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．
【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．
【分析】
根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．
【解析】
解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：
，
，
．
不论为何值都不等于，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．
29．阅读下列材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得. ……………………第1步
变形得. ……………………第2步
得. ……………………第3步
于是得，即.……第4步
当时，得.……………………第5步
得，.………………第6步
当时，该方程无实数解. ……………………………第7步
学习任务：
（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．
（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：
①； ②．
【答案】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想；（2）①x1=-1；x2=-9；②，．
【分析】
（1）直接根据平方差公式和转化的数学思想即可解答；
（2）直接根据题意中的求解方法求解即可．
【解析】
（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想
（2）①整理，得
变形，得，
得
得
得
得x1=-1 ，x2=-9
②移项，二次项系数化为1，得
整理，得
变形，得
得
得
得
解得，
【点睛】
此题主要考查阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意中的解题方法．
30．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2= 可得(a+b+c)2=0
(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
(4)已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
【答案】(1)； (2)6；（3）等边三角形；（4）3
【分析】
（1）根据材料步骤配方即可；
（2）配方后即可求最大值；
（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；
（4）扩大两倍后平方即可.
【解析】
(1) x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
(2)p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
(3)


∴
∴
∴三角形是等边三角形
(4)原式




∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1
∴原式=3
【点睛】
本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.