新高考数学二轮复习课件专题九 9.5 圆锥曲线的综合问题（含解析）

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考法一　求轨迹方程1.求轨迹方程的基本步骤1)建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为M(x,y);2)列出动点所满足的几何等量关系式;3)选用合适的公式表示几何等量关系;4)化简整理等量关系式得到一个方程;5)证明所得方程为所求曲线的轨迹方程.通常将步骤简记为:建系设点、列式、代换、化简、检验.2.求轨迹方程的基本方法1)直接法:直译法、待定系数法、几何法、定义法;2)间接法:相关点法、参数法、交轨法.
例1 (2019课标Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与 BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E, 连接QE并延长交C于点G.(i)证明:△PQG是直角三角形;(ii)求△PQG面积的最大值.
角形.(ii)由(i)得|PQ|=2u ,|PG|= ,所以△PQG的面积S= |PQ||PG|= = .设t=k+ ,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S= 在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为 .因此,△PQG面积的最大值为 .
考法二　定值与定点问题的解题方法定值问题的解决思路是“变量⇒函数⇒定值”,定点问题的解决分为 “特殊⇒一般”法和“直接推理、计算”法.
解析 (1)由题意知e= = = ,则a2=2b2,又椭圆C经过点H(-2,1),所以 + =1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为 + =1.(2)证明:显然,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-3,A(x1,y1),B(x 2,y2),由 消x得(m2+2)y2-6my+3=0,所以Δ=36m2-12(m2+2)>0,y1+y2= ,y1y2= ,由题意知,y1,y2均不为1.设M(xM,0),N(xN,0),由H,M,A三点共线知 与 共线,所以xM-x1=-y1(-2-xM),化简得xM= .同理由H,N,B三点共线可得xN= .由 =λ ,得(xM+3,0)=λ(1,0),即λ
=xM+3;由 =μ ,得(xN+3,0)=μ(1,0),即μ=xN+3.所以 + = + = + = + = + = · =  =  =2,所以 + 为定值.
考法三　最值与范围问题的解题方法1.几何法,利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等 进行求解.2.代数法,把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数 的函数(解析式),然后利用函数法、不等式法等进行求解.
例4 (2021全国乙理,21,12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与 圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
0x-2y-2y0=0,由 得x2-2x0x+4y0=0,则x1+x2=2x0,x1x2=4y0,Δ=4 -16y0,易知Δ>0,即 -4y0>0,所以|AB|= · = · = · ,而点P(x0,y0)到直线AB的距离d= = = .所以S△PAB= ·|AB|·d= · · · = ( -4y0 ,因为点P在M上,所以 +(y0+4)2=1,所以 =- -8y0-15.所以S△PAB= (- -12y0-15 = [-(y0+6)2+21 ,由题易知y0∈[-5,-3],所以当y0=-5时,S△PAB取得最大值,最大值为20 .即△PAB面积的最大值为20 .
考法四　存在性问题解决存在性问题的常用方法1.肯定顺推法:将不确定的问题明朗化.其步骤为:首先假设满足条件的元 素(点、直线、曲线或参数)存在,然后利用这些条件并结合题目中的已知 条件进行推理计算,若不出现矛盾,并且得到相应的几何元素或参数值,则 元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则元素(点、直线、曲线或参数)不 存在.2.反证法和验证法也是求解存在性问题的常用方法.
例5 (2020浙江丽水四校联考,20)设直线l与抛物线x2=2y交于A,B两点,与椭 圆 + =1交于C,D两点,直线OA,OB,OC,OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4,OA⊥OB.(1)是否存在实数t,满足k1+k2=t(k3+k4)?请说明理由;(2)求△OCD面积的最大值.
应用　圆锥曲线方程在实际问题中的应用解决圆锥曲线方程在实际问题中的应用问题的方法通常如下:提取问题中距离、角、坐标和与数学有关的关系式等信息,结合椭圆、 双曲线、抛物线等的定义、标准方程或几何性质加工信息,通过推理、 计算、论证,解决问题.
例 双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况:如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C,且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里.现以AB的中点为原点,AB所在
直线为x轴建系.现根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线 - =1的左支上,若船P接收到A发射台发射的电磁波比B发射台发射的电磁波早185.2 μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3 km/μs,1海里=1.852 km),则点P的坐标(单位:海里)为 (　    )
A. 　    B. C. 　    D.(45,±16 )
解析 设由船P到B发射台和到A发射台的距离差确定的双曲线方程为 - =1(x≥a),因为船P接收到A发射台发射的电磁波比B发射台发射的电磁波早185.2 μs,则船P到B发射台和到A发射台的距离差为|PB|-|PA|=2a=  =30海里,故a=15,又c=17,故b=8,故由船P到B发射台和到A发射台的距离差所确定的双曲线为 - =1(x≥15),联立 解得x=45(舍)或x= ,所以P ,故选B.
创新一　曲线性质探索以不等式、直线、圆锥曲线等知识为背景,结合距离、面积等关系探索 曲线的性质,考查学生的推理能力与运算求解能力,体现逻辑推理、数学 运算等核心素养,同时也展现对创新思维与审美能力的考查.通常解决这 类问题的步骤如下: 
解析 (1)若选①,设P(x,y),根据题意得, = ,整理得 + =1.所以动点P的轨迹C的方程为 + =1.若选②,连接PH,由E:x2+y2-2 x-21=0得(x- )2+y2=24, 由题意得|PH|=|PG|,所以|PH|+|PE|=|PG|+|PE|=|EG|=2 >|HE|=2 , 所以点P的轨迹C是以H,E为焦点的椭圆,且a= ,c= ,故b= .所以动点P的轨迹C的方程为 + =1.若选③,设P(x,y),S(x',0),T(0,y'),故x'2+y'2=9,(*)因为 =  +  ,所以