新高考数学二轮复习课件专题九 9.3 双曲线及其性质（含解析）

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考点一　双曲线的定义及标准方程1.定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a< |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.2.标准方程焦点在x轴上: - =1(a>0,b>0);焦点在y轴上: - =1(a>0,b>0).3.焦点三角形问题1)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则 = =c|yP|.
2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点 F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min= a+c,|PF2|min=c-a.4)P是双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标 恒为定值a.
考点二　双曲线的几何性质
【常见结论】 1)等轴双曲线:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实轴长和虚 轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率e= ,两条渐近 线互相垂直.2)共轭双曲线的性质:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲 线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.①它们有共同的渐 近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1.3)焦点到渐近线的距离为b.
考点三　直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他综合 问题,常用下面的方法解题:联立双曲线C的方程 - =1(a>0,b>0)与直线l的方程y=kx+m(m≠0),消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线C的一条渐近线平行,直线l与双曲线C只有一个交点.2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,一元二次方程根的判别式为Δ,①当Δ>0时,直线与双曲线有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则可结合根与系 数的关系,利用|MN|= = 求弦长;
②若Δ=0,则l与C相切;③若Δ<0,则l与C相离.
考法一　求双曲线的标准方程1)定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定 义求出参数a,b的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件 “|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)”的轨迹为双曲线的一支,应注意合理取舍;2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标 准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方 程.方程的常见设法:①与双曲线 - =1(a>0,b>0)渐近线相同的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0);②过两个已知点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0)或mx2-ny2=1(mn>0）.
解析 (1)(待定系数法)由题意设所求双曲线方程为 - =k,k≠0,因为双曲线过点(2 ,-1),所以 - =k,k= ,所以双曲线方程为 - = ,化为标准方程为 - =1.(2)(定义法)设F(x,y)为轨迹上任意一点,∵A,B两点在以C,F为焦点的椭圆上,∴|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中a表示椭圆的长半轴长).∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= - =2,∴|FA|-|FB|=2<14,由双曲线定义知,F点在以A,B为焦点,2为实轴长的双曲线的下支上,∴点F的轨迹方 程为y2- =1(y≤-1).
例2 (1)(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 = , · =0,则C的离心率为　　　    .(2)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q的坐标为 ,且满足|F2Q|>|F2A|,若在双曲线C的右支上存在点P,使得|PF1|+|PQ|< |F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　    .