新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题综合篇课件

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2.求动点的轨迹方程的步骤(1)建系——建立适当的坐标系;(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y);(3)列式——列出动点P的坐标所满足的关系式;(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关 于x、y的方程式,并化简;(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.
考点二　定点与定值问题1.定点问题定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过 取参数的不同特殊值及对应的方程组的根的求解来完成),即可说明此坐 标适合该曲线方程且与参数无关.2.定值问题(1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到 一般结论. (2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:(i)选择 适当的变量;(ii)把要证明的是定值的量表示成上述变量的函数;(iii)把是 定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值.
考点三　最值与范围问题　　圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最 值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值, 以及当这些元素存在最值时,求解与之有关的一些问题.对于最值问题,一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加 以解决;解决最值范围问题时,应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方 程的代数特征在解题中的作用.
知识拓展　1.圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题:一是注意题目中的几何特 征,充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在 利用代数法解决最值和范围问题时常从五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数 之间建立等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法,确定参数的取值范围.2.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点:
(1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长 轴长);(ii)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长);(iii)椭圆的焦半径的 取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最 长距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近.(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参 数(系数)的范围,解决方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解.
考点四　存在性问题　　1.存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可 先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究 结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参 数的讨论.2.反证法与验证法是求解存在性问题的常用方法.
考法一　有关轨迹方程问题的求法
方法总结    求动点轨迹方程常用的方法①直接法;②定义法;③几何法;④相关点法(代入法);⑤参数法;⑥交轨法. 其中④⑤⑥统称为间接法,体现了一种转化思想,若解题过程中引入了n 个参数,则只需建立(n-1)个方程.在探求轨迹方程的过程中,需要注意的是 轨迹方程的“完备性”和“纯粹性”,因此,在求得轨迹方程之后,要深入 地思考一下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件的轨迹方程 存在;在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有限制.
例　已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　    .
考法二　圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法
解析　(1)设动点A的坐标为(x,y),因为A的坐标为(2t2,-2t),所以 消去参数t得y2=2x.(2)(i)因为点B在轨迹E上,且纵坐标为 ,所以点B的坐标为 ,当t=±1时,直线AB的方程为x=2;当t≠±1时,直线AB的斜率为kAB= = ,所以直线AB的方程为y+2t= (x-2t2),整理得y= ·(x-2),所以直线AB过定点(2,0).
方法总结　求解定点、定值问题的常用方法:(1)直接推理、计算,并在计 算的过程中消去变量,从而得到定点或定值;(2)从特殊情况入手,求出定点 或定值,再证明定点或定值与变量无关.
例    (2019云南昆明摸底,11)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不同 于准线与x轴的交点),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B 两点,设MA,MF,MB的斜率分别为k1,k2,k3,则 的值为 (　　)A.2　    B.2 　    C.4　    D.4 
考法三　圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法
方法总结　圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法1.几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质 来解决,找到取最值的特殊位置,此类方法,选择题、填空题中常用到.2.代数法根据题目构建关于变量的等式或不等式,从而采用函数思想进行最值或 范围的求解.利用代数法解决求参数范围的问题,考虑先建立目标函数(通 常为二次函数),再求这个函数的最值.求函数最值常见的方法有配方法、 判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法、三角换元法等.
例    (2020豫北名校第二次联考,8)已知抛物线y= x2与双曲线 -x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,点P在x轴上方且在双曲线上,则 · 的最小值为 (　　)A.3-2 　    B.2 -3　    C.- 　    D. 
又因为 =(x1,y1-1), =(x2,y2-1),所以 · =x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+  =(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+ =(1+k2)· - k· + =0.所以 ⊥ ,因为线段AB的中点为M,所以|MC|=|MB|,所以∠AMC=2∠ABC.即存在常数λ=2,使∠AMC=2∠ABC恒成立.
例    (2020新疆乌鲁木齐开学摸底,21)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆C的长轴长为直径的圆与直 线x+y-2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过椭圆右焦点且不平行于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点,探 究在x轴上是否存在定点E,使得 · 为定值?若存在,试求出该定值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.