新高考数学一轮复习基础巩固9.5 构造函数常见的方法（精练）（含解析）

9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版）

1．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

因为当时，，所以当时，，

即在上单调递增，

因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.

因为,所以,

即,

则，解得，

故选：D.

2．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为可化为，

令，则，

因为，

所以，所以在上单调递减，

因为，所以，

所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．

3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）设函数在上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是（        ）

A．[1，2） B．

C．[，2） D．

【答案】B

【解析】因为，所以，令，

所以，

因为，所以，所以为奇函数；

，当时，单调递减，因此在R上单调递减；

当，即时，；则：

所以：，

即，所以，

由于递减，所以，解之得；所以AC错误；

当，即时，，

同理可得：，

所以，解之得：；

综上，，

故选：B

4．（2022·辽宁·沈阳二中 ）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（    ）

A．为增函数 B．为增函数

C．的解集为 D．的解集为

【答案】ABD

【解析】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；

对于B，由，，所以为增函数，故B正确；

对于C，，则等价于，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故C错误；

对于D，等价于，

即，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故D正确；

故选：ABD.

5．（2022·黑龙江）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．

【答案】

【解析】设，则

因为是定义在上的奇函数，

所以，

所以是上的偶函数，

当时，，所以在上单调递增，

所以在上单调递减．因为，所以，

所以．

对于不等式，

当时，，即，解得；

当时，，即，解得，

所以不等式的解集是．

故答案为：

1．（2022·山东）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

因为当时，有，

所以当时，，

所以在上为增函数，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以为R上的奇函数，

所以在R上为增函数，

由，得

，

，

所以，

因为为奇函数，所以，

所以，得，

所以不等式的解集为，故选：C

2．（2022·山西太原·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）

A．  B． C．  D．

【答案】D

【解析】令 ，

则，由于,

故,故在单调递增，

而 ，

由，得 ，

∴ ，即 ,

∴不等式的解集为,

故选：D．

3．（2022·陕西渭南）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，

故选：A

4．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】由，得，

设，则,

设，则在上为增函数,且，

则当时，，此时，此时函数为增函数；

当时，，此时，此时函数为减函数，

故由，即，A正确；

由，得，即，B错误；

与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；

由，得，即，D正确．

故选：AD

5．（2022·重庆·高三阶段练习）（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在定义域上单调递增

B．函数在定义域上有极小值

C．函数的单调递增区间为

D．不等式的解集为

【答案】AC

【解析】令，则，

因为，可得，

又由，可得，

令，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；

由函数，可得，

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为，所以C正确；

设，则，则

因为，所以，

所以，

令，

则

注意到时，，进而单减，

知时“，即.”

时单减，而，所以D错误.

故选：AC.

6（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，故，

又，所以，即，

所以是定义在上的奇函数；

又因为，所以，即，

两式相加，再整理得：，

所以由得，即，

令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，所以在上，由，解得；

又当时，，即，故，即，

综上： 的解集为，

故的解集为.

故答案为：.

1（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；

，

因为当时，，

所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；

考虑到，由，

得，即，

由在上单调递增，得解得，

所以不等式的解集为，

故选：B.

2．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以.

原不等式可化为，即.

令，则，

故在上单调递减，且由所以.

故选：B.

3．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））已知函数的定义域为R，且对任意，恒成立，则解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，

记，则在R上单调递增.

由得，

即，

∴，

∴.故选：B.

4．（2022·山东 ）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵是定义在R上的奇函数，则，

令，则，

∴为上的偶函数，

又当时，，∴，

∴在上是增函数，在上是减函数；

又，∴，，，

当时，不等式即为，即，

∴，

当时，不等式即，即，

∴，

当时，，不等式不成立；

综上，不等式的解集是，

故选：D.

5．（2021·陕西宝鸡市·高三一模）若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令，

则，

所以在上单调递增，

又因为，

所以，

即不等式的解集是，

故选：C

1．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，由在上恒有，

，

在上为增函数，

又由，为偶函数，

，，，

，故A错误.

偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，，

，，故B正确；

，，，，故C错误；

，，，，故D错误.

故选：B.

2．（2021·全国高三专题练习）已知定义R在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】令，则，

又由，所以.

故，即为定义在R上的偶函数；

当时，，

所以在上单调递增，

由，

即，

所以，

解得，

所以不等式的解集为.

故选：D.

3．（2021·全国高三专题练习（理））定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，，，

所以，，

，所以，函数为上的奇函数，

，

当时，，即，，

所以，在上单调递增，

由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，

所以，函数在上单调递增.

对于A选项，，则，即，A选项错误；

对于B选项，，，即，B选项正确；

对于C选项，，，即，C选项错误；

对于D选项，，，即，D选项错误.

故选：B.

4．（2021·全国高三专题练习（理））设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设函数，则，

因为，所以，

所以在上是增函数，

，，，

所以，

故选：A

5．（2021·浙江高三专题练习）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵且，∴是奇函数，

设，则时，，∴在是减函数．

又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，

从而在上是减函数，

不等式为，即，∴．

故选：B．

1（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，，即，，

又，所以，

所以；

故选：A

2．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

因为，所以，所以，

设，则，

所以在上单调递增.

所以，即，

于是有，所以，即，

所以.

故选：B.

3．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，，令，则，，.，易知在上单调递增．

又，而，所以．

故选：A.

4．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，，可得，则，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，

所以，所以在上单调递减，从而，

所以，即，从而可知.

由，,可得，则，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，

所以，所以在上单调递减，从而，

所以，即，从而可知.

综上可得.

故选：C

5．（2022·湖北·高三开学考试）已知是自然对数的底数，若，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，

令，则，

当时，，当时，，

又因为，

所以，

即，

又因为，且递减，

所以，

故选：A

6．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，

令，，所以为单调递增函数，

且，所以，

所以，即，所以，

设，，

所以单调递减，得，

可得，

所以，即

.

故选：A.

7．（2022·全国· 课时练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】构造函数，则，，．

因为在上恒成立，所以函数在上单调递减.

又因为，所以，且，故.

故选：C．

8．（2022·江苏南通·模拟预测）设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由不等式可得，即；，

设，

因为，所以在上单调递增，

所以当，所以，即.

所以.

故选：C