4.4 构造函数常见方法（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，则，
设 ，
则在上单调递减.
则，即 ，
即.
故选：A.
2．（2023春·吉林长春）已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】令函数，则 ，
因为 所以. 是增函数，
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即≥的解集为；
故选：D.
3．（2023·甘肃）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以在上单调递减.
又因为偶函数，所以，
所以.
又，
所以不等式等价于，
根据函数的单调性可知，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
4．（2023春·河南）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.故选：D.
5．（2023·湖北武汉）设，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
令，则，
所以在上递增，则，即，
则，即；
令，则，
所以在上递增，则，即，则，即，故选：C
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得：，，
因为，所以，则；
设（），则，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，，即时，，
所以，
又，，所以，则，
又，所以，综上：，故选：D.
7．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，从而可知.
故选：B.
8．（2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
，，，
因为，，所以，所以，即，
故选：B
9．（2023·海南）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由.
若不是常函数，则在上单调递减，又，则；
若为常函数，则.综上，.
故选：A
10．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，即，所以，即，
又，所以，故 ，，可得，
在上，，单调递增；在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.故选：D.
11．（2023春·安徽六安）已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，即，解得.故选：C.
12．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考阶段练习）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,所以,
设可得,为偶函数
在上有，，
故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
由得，
即，，即，,解得.故选：A.
13．（2023春·河北承德）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.
14．（2023·山西·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知，，，
令，则，，所以在上单调递减，
又因为，所以，即．故选：D.
15．（2023春·安徽合肥）已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，则，
因为，所以时，，即在上单调递减，
又，则，所以，
即，则，解得：，所以关于的不等式的解集为，故选：C.
16．（2022春·重庆沙坪坝）设定义在上的可导函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以令，则，即在定义域上单调递减，
又，所以，
因为，所以不等式等价于，即，
所以，即不等式的解集为.故选：D
17．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设函数，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为，故，即，
故选：B
18．（2023春·吉林长春）函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，所以，所以在上单调递减.
又因为，所以即的解集为.
故选：D.
19．（2023春·湖北黄冈）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则,
∵，∴,而,故,
∴在R上单调递增，
又，故，∴的解集为，
即不等式的解集为，故选：B
20．（2023春·山东淄博·）已知定义在R上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
又，，所以，所以在上单调递减，
由1>0可得，故A错；
由2>1可得，即，故B错；
由，∴∴，故C正确；
因为，所以．得，故D错误
故选：C
21．（2023·全国·高三专题练习）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，得到，
令，所以，
则为奇函数，且，
又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，
又，所以，即，
所以，即.故选：A.
22．（2023·广东·高三专题练习）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，所以，所以，即，
又，所以，故，故选：B.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
24．（2023春·河南郑州）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，即，，
在上单调递减，又，
不等式，即，，
原不等式的解集为.故选：D
25．（2023春云南）已知定义在上的奇函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是定义在R上的奇函数，，则，即是偶函数，
由，可得，构造，则，
所以函数单调递增，不等式可化简为，
即，所以，解得.故选：B.
26．（2023春·广东佛山）已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以函数在区间上单调递减，
不等式可化为，即，解得.
故选：A
27．（2023春·天津南开）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，，
因为是定义在上的奇函数，即，
，是奇函数；
又当时，，
在上单调递增，在上单调递增；
又，，
对于不等式，又，所以，
所以不等式等价于，即，即，
所以，即不等式解集为．
故选：A．
28．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，显然.
令，则，，
若，且，
则，
所以在上递减，则，即，
综上，.
故选：D.
29．（2022·宁夏吴忠·统考模拟预测）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【解析】构造函数，则，
，则函数在上单调递增，
由可得，可得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
30．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，
故.
，即，即，故，解得.
故选：D
31．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
在上单调递增，
，
则不等式，即为，即为，，
所以不等式的解集为.
故选：B
32．（2023春·四川绵阳）函数定义域为，其导函数为，若，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则
故在单调递减，
又因为，所以不等式等价于，故．
故选：D．
33．（2023春·四川广安）已知，试比较大小关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令
则，令，则恒成立，即在上单调递增，
∵
即
令，则
令得，即在上单调递减，
因为，所以即即，
即，所以．
故选：C
34．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，
由，得．
设函数，则，
∴在上单调递增，从而．
即，即．
故选：A.
35．（2023春·北京）已知e为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由得
令，则，所以单调递减，
故,即,同除以得，
故选：A
36．（2023春·湖北武汉）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
而可化为，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故选：B
1．（2023春·山东聊城）已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，
令，则，
所以为偶函数，
又，则当时，
所以在上单调递增，则，
所以，即，故A正确；
，即，
则，即，故B错误；
，即，
则，即，故C错误；
，即，
则，即，故D错误；
故选：A
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则,
但时，则在上单调递增,
所以，则.
因为，
所以，比较的大小可以比较与，即比较与，
设，可知在上单调递增，
因为，且，
所以，则，故.
所以.
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为 为函数的导函数，当时， ，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为当时， ，所以 ，所以在上单调递增，
又，
所以，即为奇函数，在上单调递增，
所以对于A，，即，
，A错误；
对于B， ，即 ；，B正确；
对于C，，即，C错误；
对于D，，D错误；
故选：B.
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
令，则，故，
又在上单调递增，
所以当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
因为，，，
所以，，，
因为，
由于，故上式等号不成立，则，
又，所以，即，即，
同理可得，所以，
所以.
故选：C.
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】造函数，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，即，得，即；
构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
所以.
故选：A.
6．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令，则，
所以函数在上递增，
所以，即，即，
所以，即，
综上，.
故选：A.
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
设函数，，
设，故在单调递减，，从而在单调递减，故，即；
设，
故在单调递增，，即，从而有，
因此．
综上，.
故选：D
8．（2023春·河北）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则．
当时，，即，则，
故在上单调递增．
因为是偶函数，所以，
所以，则是奇函数，
故在上单调递增．
因为，所以，则．
不等式等价于或
即或解得或．
故选：A.
9．（2023·四川·川大附中校考模拟预测）定义在上的可导函数f（x）满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】由，得.
令，则，即为偶函数.
又时，.
所以在上单调递减.
由，得，即.
又为偶函数，
所以，
所以，即，解得，
所以a的取值范围为.
故选：A.
10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，即，
可设，
当时，因得，
所以，
可化为，
即，
设，
因，故为偶函数
，
当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，
因，
所以当时的解集为，
又因为偶函数，故的解集为.
故选：C
11．（2023·海南·统考模拟预测）设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得．
设，则，所以是R上的奇函数，
又在上，即，
所以在上单调递减，又是R上的奇函数，所以在(-∞,0)上单调递减，
所以，即，
因此，故，故A正确；
所以，即，因此，故B不正确；
所以，即，则，
所以与的大小不能确定，故C不正确；
所以，即，则，
所以与的大小不确定，故D不正确.
故选：A.
12．（2023春·山东德州）已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意,不妨设,
因为对任意两个不等的正实数,都有,
所以,即,
构造函数,
则,
所以在上单调递增，
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
设,则，
所以当时,单调递增，
时,单调递减，
所以，
所以.
故选：D.
13．（2023春·山东潍坊）已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在上，所以中的式子要有意义，
需满足，解得.
因为，所以，即，
设函数，则在定义域上单调递减.
要求，则
当，即时，，即，
所以，解得或，所以；
当，即时，，即，
所以，解得；
在中，令得，
而在中，当时，有，显然成立；
综上，的解集为.
故选：D.
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意：，
设，则，
由得，
因为，所以，
又、是定义域为的恒大于0的可导函数，
故，B错误，，A错误；
，
因为，不知道正负，所以C不一定成立；
，
即，D正确.
故选：D.
15．（2023·湖北·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（ ）
A．11B．9C．0D．
【答案】A
【解析】因为对任意的，即，
所以为奇函数，故．
由得，，
即，
设，则为奇函数，，且，
所以图像关于直线对称，
由得，，
所以，
所以
所以的周期为4．
所以，所以，
由求导可得，所以关于对称，所以
由对称性可知图像关于直线对称，
因为，所以，
所以，
所以
所以的周期为4，所以，
又，所以，
所以．
故选：A.
16．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（ ）
A．无极值B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】D
【解析】由已知知，
又，所以，
令，则，
又，
令，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值，
故选：D.
17．（2023春·吉林长春）已知函数和都是定义域为的函数，且满足，且恒成立，那么当时，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得：，
令，，
所以在上单调递增，
若，则，所以，
因为，所以恒为正或恒为负，
所以，，
，所以，
所以，故D不正确；
，，
，，
故，故C正确，A不正确；
对于B，若恒为正，且单调递减，则，由，
若恒为正，且单调递增，则，由，
则有，故B不正确；
故选：C.
18．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.