新高考数学一轮复习基础巩固9.5 构造函数常见的方法（精讲）（含解析）

9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）

考点一 直接型

【例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）

C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）

【答案】D

【解析】由题意设，则

∵当x＞0时，有，∴当x＞0时，，∴函数在（0，+∞）上为增函数，

∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，

g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，

∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，

∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．

【一隅三反】

1．（2022·陕西西安 ）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，

当，，故在上单调递减，

且易知为奇函数，故在上单调递减，由，

所以.

故选：B.

2．（2022·河北·石家庄二中 ）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得关于成中心对称．

令，可得

当时，则在上单调递增.

由关于成中心对称且，故在上单调递增

由，则，或

解得，或，故

故选：A

3．（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

因为当时，成立，所以，为递增函数，

又因为函数为奇函数，可得，

则，所以函数为偶函数，

所以函数在为单调递减函数，

由，，，

因为，所以，即.故选：B

考点二 加乘型

【例2】（2022·江苏）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，

所以当时，，

令，则当时，，

故在时，单调递减，

又因为在在R上为偶函数，

所以在R上为奇函数，

故在R上单调递减，

因为，所以，

当时，可变形为，

即，

因为在R上单调递减，

所以，解得：，

与取交集，结果为；

当时，可变形为，

即，

因为在R上单调递减，

所以，解得：，

与取交集，结果为；

综上：不等式的解集为.故选：A

【一隅三反】

1．（2022·辽宁锦州）已知定义在上的函数的导函数，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】构造函数，因为，

所以，因此函数是增函数，

于是有，

构造函数，因为，

所以，因此是单调递减函数，

于是有，

故选：D

2（2022·陕西师大附中）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造，则，

因为定义域为，且，

所以

所以函数在上单调递增，

不等式可化为：，

即，所以有，

解得：.

即不等式的解集为：.

故选：D

3．（2021·江西·金溪一中 ）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，

所以，

又因为，所以，在上单调递增，

因为，所以，

不等式，可整理为，即，

因为函数在上单调递增，所以.故选：D.

考点三 减除型

【例3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（　　）

A．＜ B．=

C．＞ D．不能确定

【答案】C

【解析】设，则有，

又因为，所以在R上恒成立，

则函数在R上单调递增，

则，即，

即＞.故选：C.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，在上的函数恒成立，

构造函数，则，

∵上，即，

∴在上单调递减，而，故

∴，可得.

故选：B

2．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

∵，∴，函数在R上单调递增，

又，∴,

由，可得，即，又函数在R上单调递增，

所以，即不等式的解集为.故选：C．

3．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数的定义域为的导函数是，且.给出下列不等式：①；②；③，其中不等式恒成立的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】令，则.

因为，所以，函数在上单调递增.

对于①，因为，即，整理得，①恒成立；

对于②，因为，所以，即，整理得，②恒成立；

对于③，因为，所以，即，整理得，③错误.所以恒成立的不等式有①和②，共2个.故选：C.

考点四  三角函数型

【例4】（2022·吉林）（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】构造函数，其中，则，

∵对于任意的满足，

∴ 当时，，则函数在上单调递增，

又函数是偶函数，，∴，

∴在上为偶函数，

∴函数在上单调递减．

∵，则，即，即，化简得，A正确；

同理可知，即，即，化简得，B正确；

，且即，即，化简得，C错误；

，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.

【一隅三反】

1．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ）

A．< B．>0

C．> D．>

【答案】CD

【解析】令，则，

因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；

又，所以，所以在上恒成立，

因为，所以，故B错；

又，所以，即，故C正确；

又，所以，即，故D正确.

故选：CD

2．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，则在上是减函数.，

所以

得，又，所以.

故选：A.

3．（2022·全国·专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】令，则，

因为，所以，

因为，

所以，

所以在上为减函数，

由，得，

所以，

因为在上为减函数，

所以，

所以不等式的解集为，

故答案为：

考点五 题意型

【例5】（2022·江西·金溪一中）已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc＋3＝e3则 （    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a

【答案】A

【解析】设，则，

又，所以在上单调递增，

所以，即，

因为，所以在上单调递减，

所以，

故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））​， 则（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

【答案】A

【解析】构造，，则，

令，则，

所以在上递减，

所以，所以，

所以在上递减，

所以，所以，

所以，即，所以，

令（），则，

所以在上递增，

所以，所以，

所以，

所以，即

故​.

故选：A

2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，，

令，

则，令，则，

当时，，∴在上单调递减，

∴，即，

∴，即；

令，

∴，令，则，

当时，，∴在上单调递减，

∴，即，

∴，即，

综上可知：．

故选：A．

3．（2022·云南大理·模拟预测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，由，得，

设，则，

当时，单调递增，因，

当且仅当时取等号，故，

又，所以，故，

∴，则，即有，故.

故选:C．