【单元复习提升】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第1章 勾股定理试卷（易错与拓展）

第1章 勾股定理 单元复习提升（易错与拓展）

易错点01 勾股数

【指点迷津】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．

典例1．下列各组数中，是勾股数的是（    ）

A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41

跟踪训练1．下列各式中，属于勾股数的一组是（    ）

A． B． C． D．

跟踪训练2．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：        ，第组勾股数是        ．

易错点02 用勾股定理理解三角形分类讨论

【指点迷津】用勾股定理解直角三角形时，先确定直角三角形，再确认直角边与斜边，通过勾股定理a2+b2=c2解另一个直角边或斜边，也就是“知二求一”，注意分类讨论．

典例2．已知，直角三角形的两边分别为3和5，则第三边的长为（    ）

A．4 B． C．4或 D．或

跟踪训练1．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（    ）

A．10 B． C．10或 D．10或24

跟踪训练2．在中，已知两边长分别为1和3，则第三边长为           ．

易错点03 勾股定理的逆定理

【指点迷津】①勾股定理的逆定理，由三角形的三边满足a2+b2=c2数量关系，得到三角形是直角三角形，如何构建得到上述数量关系，方法有绝对值、平方、算术平方根的非负性，等式变形，因式分解等等；②满足（ka）2+（kb）2=（kc）2，也能得到三角形是直角三角形。

典例3．若的三边分别为，下列给出的条件不能使得构成直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

跟踪训练1．的三边长a，b，c满足，则是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

跟踪训练2．若的三边长a、b、c满足，那么是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

跟踪训练3．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能构成直角三角形的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

易错点04 网格问题

【指点迷津】找出网格中满足题意的直角三角形，用勾股定理解直角三角形

典例4．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7

跟踪训练1．如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（    ）

A． B． C． D．

跟踪训练2．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

跟踪训练3．如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是（   ）

A． B． C． D．

易错点05 勾股定理的应用

【指点迷津】立体图形展开问题，注意化抽象为具体（可用实物图展开方法等），其他实际应用注意转化到直角三角形中去解决（注意可以找多个直角三角形，多次使用勾股定理或逆定理）

典例5．如图，一圆柱高，底面周长是，为的中点，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（    ）

A． B． C． D．

跟踪训练1．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．

A．8 B．5 C．20 D．10

跟踪训练2．如图，一根长的木条，斜靠在竖直的墙上，这时木条的底端距墙底端．如果将木条底端向左滑动，那么木条的顶端将向上滑动（    ）

A． B．3cm C． D．

跟踪训练3．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

跟踪训练4．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）

A．m B．m C．6m D．m

拓展01 勾股定理的证明方法

拓展知识

勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

　　　 图（1）中，所以．

　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

　　　　 　　图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

　　　　   ，所以．

典例1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

跟踪训练1．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

跟踪训练2．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（    ）

A．B．C． D．

跟踪训练3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；

②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．

(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；

(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．

拓展02 勾股定理的折叠问题

拓展知识 一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若∠B=30°，AC=，求DC的长。

分析：1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；

2、利用折叠，找全等。

（1）你能从中找到全等三角形吗？

（2）折叠后出现的相等的线段有哪些？

（3）折叠后出现的相等的角有哪些？

3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。

4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。

典例2．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）

A． B． C． D．

跟踪训练1．如图，在，，，沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交于点E，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

跟踪训练2．如图，在中，，将沿着折叠以后点正好落在边上的点处．

(1)当时，求的度数；

(2)当，时，

①求线段的长；

②求线段的长．

一、单选题

1．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ）

A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17

2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ）

A． B． C． D．不确定哪个角是直角

3．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（    ）

A．，， B．，，

C． D．，，

4．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为   

A．米 B．米 C．2米 D．米

6．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ）

A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm

8．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ）

A．11 B．15 C．10 D．22

9．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．4米 B．5米 C．6米 D．7米

10．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（　　）．

A． B．2  C． D．4

二、填空题

11．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为        ．

12．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为     ．

13．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=      ．

14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是      三角形．

15．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是    三角形．

16．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走      cm．（杯子厚度忽略不计）

17．如图，于点B，于点A，点E是中点，若，，，则的长是             ．

18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是        

三、解答题

19．如图，在Rt中，，，，于．

求：（1）斜边的长；

（2）高的长．

20．如图，四边形中，，，，．则的度数是多少度？说明理由．

21．如图，，，，，．

(1)求的长度；

(2)求阴影部分面积．

22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为；

（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．

23．如图，在中，，， 边上的中线，延长至点，使，连接．

(1)求证：．

(2)求的长．

24．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点．

（1）求的长；

（2）求的面积．

25．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？

26．一艘轮船从港向南偏西48°方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．

（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．

（2）岛在港的什么方向？

27．初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．

问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？

(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；

(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；

②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；

③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．

28．数形结合是我们解决问题常用到的思想方法．

(1)观察发现：如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙)，拼成一个宽为15的长方形，求正方形纸片A、B的边长．

(2)推理猜想：教材中我们可以运用拼图，用两种不同的求面积方法，导出一些结论，下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算图2的面积，S=__________________，或者S= ____________________，经化简后，请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系： ___________________________________．

(3)灵活应用：图3中，以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形，若，，则以b为边长作的正方形面积=_______________．

29．已知，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为的一个“勾股点”．

(1)如图（1），若点P是内一点，，，，试说明点P是的一个“勾股点”；

(2)如图（2），已知点D是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；

(3)如图（3），在中，，，点D为外一点，，，，点D能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．