2023-2024年北师大版八年级数学上册期末冲刺满分攻略二--勾股定理的逆定理（参考答案）

这是一份2023-2024年北师大版八年级数学上册期末冲刺满分攻略二--勾股定理的逆定理（参考答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=3：4：5
C．∠A+∠B=∠CD．a：b：c=1：2： 3
【解析】【解答】A.设三角形的三边为3x，4x，5x，∴（3x）2+（4x）2=（5x）2，△ABC为直角三角形；
B.由题意可知，∠A=180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，三角新不是直角三角形；
C.由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A+∠B=∠C，∴2∠C=180°，∠C=90°，△ABC为直角三角形；
D.设三角形的三边为x，2x，3x，∴x2+（2x）2=（3x）2，△ABC为直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理进行判断即可得到答案。
2．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足(a−6)2+b−8+|c−10|=0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【解析】【解答】解：∵（a-6）2≥0，b−8≥0，|c-10|≥0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出a=6，b=8，c=10，再利用勾股定理计算求解即可。
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5D．三边长的平方之比为1：2：3
【解析】【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2=3，所以是直角三角形．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
4．如果一个三角形的三边分别为1、2、3，则其面积为（ ）
A．2B．22C．32D．62
【解析】【解答】解：∵三角形的三边分别是1、2、3，且12+（2）2=（3）2，
∴三角形是直角三角形，
∴三角形面积为：12×1×2=22．
故选B．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求解．
5．已知两条线段长分别为3、4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是（ ）
A．5B．7C．5或7D．不能确定
【解析】【解答】解：当第三条线段为直角边时，4cm为斜边，根据勾股定理得第三边长为42−32=7；
当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得第三边长为42+32=5，
故选：C．
【分析】由于“两边长分别为3cm和4cm，要使这个三角形是直角三角形”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．
6．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ）
A．108cm2B．90cm2C．180cm2D．54cm2
【解析】【解答】解：∵92+122=152，
∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，
所以△ABC的面积=12×9×12=54（cm2）．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式即可求解．
7．三角形的三边长分别为6，8，10，那它最短边上的高为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴这个三角形是直角三角形，
这个三角形的最短边是6，
则最短边上的高为8，
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断这个三角形是直角三角形，根据三角形的高的概念解答即可．
8．有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】【解答】解：因为符合的有：①252=72+242；②202=162+122；③92+402=412，所以是三组，故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个三角形就是直角三角形．
9．△ABC的三边满足|a+b﹣16|+a−b−4+（c﹣8）2=0，则△ABC为（ ）
A．直角三角形B． 等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵|a+b﹣16|+a−b−4+（c﹣8）2=0，
∴a+b−16=0a−b−4=0c−8=0，
解得：a=10b=6c=8，
∵a2=b2+c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
【分析】首先利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而利用勾股定理的逆定理求出答案．
10．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列命题中的假命题是（ ）
A．若∠A=∠C－∠B，则∠C=90º
B．若∠C=90º，则a2+b2=c2
C．若∠A=30º，∠B=60º，则AB=2BC
D．若a+ba−b=c2，则∠C=90º
【解析】【分析】根据直角三角形的性质和判断，勾股定理依次分析各项即可得到结论。
A．若∠A=∠C－∠B，则∠C =∠A+∠B =90º，这是一个真命题；
B．若∠C=90º，则a2+b2=c2，这是一个真命题；
C．若∠A=30º，∠B=60º，则∠C =90º，则AB=2BC，这是一个真命题；
D．若a+ba−b=c2，则a2−b2=c2，则∠A=90º，故这是一个假命题，
故选D.
【点评】解答本题的关键是掌握勾股定理，明确最大的边所对的角是直角。
二、填空题
11．四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，则△BDC为 三角形．
【解析】【解答】解：如图，分两种情况讨论，
连接BD．
∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，
∴BD=AB2+AD2=5，
∵BC=12，CD=13，
∴BD2+BC2=52+122=169，CD2=132，
∴∠DBC=90°，即△BDC为直角三角形．
故答案为直角．
【分析】连接BD．先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明∠DBC=90°
12．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 ．（只填序号）
①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由a,b,c可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是b22．
【解析】【解答】解：根据直角三角形的面积的不同算法，
有12ab=12ch，
解得h=abc．
①将h=abc代入a2b2+h4=（a2+b2+1）h2，得
a2b2+（abc）4=（a2+b2+1）（abc）2，得
a2b2+（abc）4=（c2+1）（abc）2，得
a2b2+（abc）4=a2b2+a2b2c2，得
即（abc）4=a2b2c2，
a2b2=c2，不一定成立，故本选项错误；
②将h=abc代入b4+c2h2=b2c2，得
b4+c2（abc）2=b2c2，
b4+b2a2=b2c2，
整理得b4+b2a2﹣b2c2=0，
b2（b2+a2﹣c2）=0，
∵b2+a2﹣c2=0，
∴b2（b2+a2﹣c2）=0成立，故本选项正确；
③①∵（a+b）2=a+b+2ab，（c）2=c，
又∵a+b＞c，
∴（a+b）2＞（c）2，
∴a+b＞c，故本选项正确；
④直角三角形的面积为12ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．
故答案为②③．
【分析】根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．
13．若△ABC的三边长分别为x+1，x+2，x+3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．
【解析】【解答】解：由题意得：（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2，
解得：x1=2，x2=﹣2（不合题意，舍去），
故答案为：2．
【分析】根据勾股定理逆定理可得：（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2，再解即可．
14．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：
①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．
其中正确结论序号是
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，
大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；
∵小正方形的面积是1，
∴b﹣a=1，
则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，
∴ab=6，
故④正确；
根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，
而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．
故答案是：①④
【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．
15．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有 个．
【解析】【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
故答案为：4．
【分析】根据勾股定理的逆定理找出符合条件的格点即可．
16．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．
故答案是：25．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．
（1）在图中画出△A1B1C1并写出点A1、B1的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的特征，先求出A1，B1，C1的坐标，然后描点连线即可解答.
（2）先分别计算出△ABC各边的边长的平方，然后根据勾股定理的逆定理判断即可解答．
18．已知a、b、c满足（a﹣3）2+b−4+|c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合非负数的性质，易求a、b、c的值；
（2）由于32+42=52，易知此三角形是直角三角形，故能够构成三角形，再利用三角形周长公式易求其周长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，DB，且CD＝4
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理即可求得BC的长；
（2）在△BCD中，利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
20．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？
【解析】【分析】先根据路程=速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP=90°，进一步即可求解．
21．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【解析】【分析】（1）先求出CH2+BH2=BC2，利用勾股定理的逆定理可得△CHB是直角三角形，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC=x千米，利用勾股定理可得x2=（x-0.9）2+1.22， 再求出x的值即可。
22．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S∆ABD=12cc+x你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．
【解析】【分析】（1）首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；
（2）根据S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE，S∆ABD=12cc+x得出a2+b2=c2即可．
23．综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求得；
（2）画出长方体的平面展开图，根据两点之间线段最短即可求得DE为最短路径，根据勾股定理即可算得.
24．阅读下列一段文字，回答问题．
[材料阅读]平面内两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由勾股定理可得，这两点间的距离MN=(x1−x2)2+(y1−y2)2．
例如，如图1，M(3，1)，N(，-2)，则MN=(3−1)2+(1+2)2=13．
[直接应用]
（1）已知P(2，-3)，Q(-1，3)， 求P、Q两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，A(-1，-3)，OB=2，OB与x轴正半轴的夹角是45°．试判断△ABO的形状并证明．
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式直接求出PQ两点间的距离即可；
（2）根据两点间的距离公式求出OA和AB的长度；根据勾股定理的逆向证明，得出△ABO是直角三角形.