【期中单元重点题型】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第2章 一元二次方程 单元复习提升（易错与拓展）-讲义

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第2章 一元二次方程 单元复习提升（易错与拓展）


易错点01 一元二次方程的概念
【指点迷津】注意a≠0；化简到一元二次方程的一般式再做判断与解题．
典例1．下列方程是一元二次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．
【解析】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，故本选项错误；
C、化简得：是一元二次方程，故本选项正确；
D、是二元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
跟踪训练1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
易错点02 忽视因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.
【指点迷津】因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.
典例2．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）去括号、移项合并，然后应用提公因式法解方程即可；
（2）运用配方法解方程即可．
【解析】（1）解：


即        
解得：．
（2）





．
【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据方程特点选择适当的方式解方程是解题的关键．
跟踪训练1．一元二次方程的根是（    ）
A． B．
C．， D．，
【答案】A
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】解：∵，
∴
则，即
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
跟踪训练2．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）先去括号，然后利用配方法解方程即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：
整理得，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
易错点03 根据根的判别式求参数时忽视a≠0
【指点迷津】解一元二次方程及其相关应用时，不要忽视一元二次方程本身成立的条件，或者一些隐含条件.
典例3．若关于 x 的一元二次方程有实数根，则实数k 的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
即：且，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，当一元二次方程有实数根，则，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
跟踪训练1．已知关于x的一元二次方程有实数根，求a的取值范围 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：，
根据题意得：，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
跟踪训练2．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式，即可求解．
【解析】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
易错点04 忽视因式分解法在一元二次方程实际应用中的巧妙解法.
【指点迷津】因式分解在解题时往往可以加快解题速度，节约考试时间.
典例4．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．
【答案】16或49
【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可．
【解析】设一位数为，则两位数为．
则根据题意可得：，  
整理得：．
分解得：，
解得：，．
答：这个两位数为16或49．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．
跟踪训练1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？
【答案】元
【分析】根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可．
【解析】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得
，
整理可得：，
解得：，，
当时，可卖件数：，
当时，可卖件数：，
要减少库存量，
售价应定为每件（元）．
答：售价应定为每件元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键．
跟踪训练2．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米．

(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
【答案】(1)；x的取值范围为
(2)当为9米时，鸡舍的面积为90平方米
(3)鸡舍面积不能达到100平方米，理由见解析

【分析】（1）设米时，则米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可；
（2）根据题意得：求得x的值，然后代入验证即可；
（3）根据题意得，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【解析】（1）解：设米时，则米，鸡舍面积为S平方米，
根据题意得，；
∵，
∴，
∴x的取值范围为．
（2）解：根据题意得：，解得，
当时，（不合题意舍去），
当时，．
答：当为9米时，鸡舍的面积为90平方米．
（3）解：根据题意得：，整理得，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴鸡舍面积不能达到100平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

拓展01 根的判别式与根与系数的关系的综合应用
典例1．对于一元二次方程，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
【解析】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，

则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，
故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故④正确．
故正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【解析】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
拓展02 根与系数的关系难点分析
典例2．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解析】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键
跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可．
【解析】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴①③正确，②不正确；
∵

，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．


拓展03 一元二次方程的综合应用
典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．

(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2),,
(3)当时，点恰好落在内部(不含边界)

【分析】（1）勾股定理直接求解即可；
（2）分三种情形，分别讨论，即可求解；
（3）当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，因为点为的中点，由（2）可知，，根据等面积法求得，进而得出, , ，根据轴对称的性质得出，，继而求得，在中，，即可求解．
【解析】（1）解：∵点的坐标为，点B的坐标是，
∴，
∴;
（2）当时，如图，过点作轴于点，轴于点，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
当时，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或，
（3）如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，

∵点为的中点，
由（2）可知，，
则，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵对称，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
当点运动到点，此时重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部(不含边界) ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
跟踪训练1．探索发现
如图（1），在正方形中，为边上不与重合的点，过点三点分别作的垂线，垂足分别为．
  
（1）求证：；
（2）求证：．
迁移拓展
如图（2），在正方形中，为直线上一点，过点作的垂线，垂足为，若，直接写出的长．
【答案】探索发现：（1）见解析；（2）见解析；迁移拓展：或
【分析】探索发现：（1）根据正方形的性质，证明三角形全等即可求解；（2）如图，连接，作，交于点，根据正方形的性质可证，根据等腰直角三角形的性质，即可求解；迁移拓展：分类讨论，①如图，当点线段上时，作，延长交于点；②如图，当点的延长线上时；图形结合分析即可求解．
【解析】解：探索发现
（1）证明：如图所示，在正方形中，
  
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，作，交于点，
  
，
，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，由（1）得，，
，
，
，
，
．
迁移拓展：
①如图，当点线段上时，作，延长交于点，
  
依题意，由①得：，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
，
，
，
，
，
∴，
设，
则，解得或（舍去），
，
设，则由可得，
解得：，即
，
∴；
②如图，当点的延长线上时，
  
同理可得：，
设，则由可得，解得：，
，
∴．
综上所得：的长是或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握图形的变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形，图形结合，分类讨论等知识是解题的关键．


一、单选题
1．下列是一元二次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．有两个未知数，是二元方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
【答案】C
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入方程，求出a的值即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
3．解方程）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【答案】D
【分析】方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适．
【解析】解：
可化为：

故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．
4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于0的方程满足条件，由此即可得出结论．
【解析】解：A、，所以方程无实数解，不符合题意；
B、，所以方程无实数解，不符合题意；
C、，所以方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、，所以方程无实数解，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键．
5．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数−的一半的平方，再整理即可．
【解析】解：由原方程得，−x=-3，
配方得：−x+=-3+，即．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
6．方程的解为，，若方程，它的解是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法解一元二次方程即可得．
【解析】解：令，
则方程可变形为，
∵方程的解为，，
∴方程的解为，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案．
【解析】解：根据题意，
可得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设年平均增长率为，由题意得等量关系：，根据等量关系列出方程即可．
【解析】解：设年平均增长率为，可列方程为：

故选：A
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．
【解析】解：由根与系数的关系得： ，
,
即,
解得：或,
而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（    ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．
【解析】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．

二、填空题
11．的二次项系数是 、常数项是 ．
【答案】 1 7
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【解析】解：的二次项系数是1，常数项是7，
故答案为：1，7．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ．
【答案】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解析】解：依题意可得，
解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
13．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】先解一元二次方程，再利用等腰三角形的性质进行分类讨论．
【解析】解：∵，
∴，
∴，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2,AD为底边上的高，
∴BD=1，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解法，并运用三角形的三边关系进行分类讨论是关键．
14．已知x2＝2x+15，则代数式= ．
【答案】或
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【解析】解：
＝
＝2x×
＝．
∵，
∴，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为 ．
【答案】
【分析】设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案．
【解析】解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，
所以：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键．
16．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为 ．
【答案】0或1或
【分析】分和两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．
【解析】由题意，分以下两种情况：
（1）当时，
方程为，解得，满足解是整数；
（2）当时，
方程为一元二次方程，
因式分解，得，
解得，
方程的解都是整数，k也是整数，
一定是整数，
整数或；
综上，整数的值为0或1或，
故答案为：0或1或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
17．已知：关于x的方程a(x+k)2+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2) 2+2022=0的根是 ；
（2）关于x的方程a(x+3k) 2 +2022=0的根为 ．
【答案】 ， ，，
【分析】（1）可把方程a(x+k+2) 2+2022=0看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一元一次方程即可；
（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)2+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) 2 +2022=0，解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）把方程a(x+k+2) 2+2022=0看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+k)2+2022=0的解是x1=-2，x2=1，
∴或，
∴，，
故答案为：，；
（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)2+2022=0，
得：，
解得：，，
代入a(x+3k) 2 +2022=0得，
即，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．
18．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法：
①若a，c异号，则方程一定有实数根；
②若，则方程一定有两异实根；
③若，则方程一定有两实数根；
④若，由根与系数的关系可得
其中正确的结论是： （填序号）．
【答案】①②③
【分析】当a、c异号时，Δ＞0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，Δ＞0，可判断方程ax2+bx+c=0一定有两异实数根，则可对②进行判断；当b=a+c时，则Δ=≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a=1，b=2，c=-3，计算出Δ=16>0，则可对④进行判断．
【解析】解：∵Δ=，
∴当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；
当时，若a、c异号，则Δ=＞0，此时方程=0一定有两异实数根，若ac同号或0，则，此时方程=0一定有两异实根，所以②正确；
若b=a+c时，Δ==≥0，则方程=0一定有两实数根，所以③正确；
若a=1，b=2，c=-3，Δ==16>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以，所以④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若Δ≥0，，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．

三、解答题
19．用适当的方法解一元二次方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），
【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（3）运用公式法求解；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解析】原方程可化为，
∴，
用直接开平方法，得方程的根为，．
（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．
用直接开平方法，得原方程的根为，．
（3）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
，
∴，．
（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0
用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
20．已知关于的方程.
（1）当为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
【答案】(1)m=3;(2) ;(3) 且
【分析】（1）令二次项为0，即时求解即可；
（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；
（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.
【解析】（1）∵方程只有一个实数根，，解得
（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
且，且，解得且.
【点睛】本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值，
【答案】(1)证明见解析
(2)k的值为或

【分析】（1）先计算判别式的值得到，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值．
【解析】（1）证明：∵
            
∴不论k为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：原方程的两根为，
即，         
∵方程的根为整数，k为整数，
∴k的值为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
22．已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根，
(1)求实数m的取值范围，
(2)若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可；
（2）由方程根与系数的关系得出关于m的一元二次方程求解，然后结合（1）中结果求解即可．
【解析】（1）解：，
其中a=1，b=-(8-4m)，c=，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即
解得：m<1；
（2）∵方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
由（1）得m<1，
∴m=-2．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基础知识点是解题关键．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？

【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可．
【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，
由题意得：x(25-2x+1)=80，
整理，得：x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16>12（舍去），
当x=8时，26-2x=10<12．
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，看懂图形，列出一元二次方程是解题关键．
24．阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：

(1)探究：　 　；
(2)代数式有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)大，16
(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为

【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）仿照题意利用配方法求解即可；
（3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到，据此求解即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为50，
∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键．
25．当m，n为实数，且满足时，就称点为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线上，点B，C是“状元点”，且B在直线AM上．
(1)求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；
(2)请求出点B的坐标；
(3)若，求点C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)b=7；点F（2，6）不是“状元点”；
(2)点B的坐标为（-3，4）；
(3)-7≤n≤1．

【分析】（1）由m+mn=n变式为=1-m，可知P（m，1-m），所以在直线y=1-x上，点A（0，7）在直线y=x+b上，求得b的值，点F（2，6）代入y=1-x即可得到点F（2，6）是否为“状元点”；
（2）由（1）求得直线AM：y=x+7，进而求得点B的坐标；
（3）设设C（n，1-n），利用两点之间的距离公式列不等式，求解即可．
(1)
解：∵m+mn=n且m，n是正实数，
∴+m=1，即=1-m，
∴P（m，1-m），
∴点P在直线y=1-x上，
当x=2时，1-x=-1，
∴点F（2，6）不是“状元点”；
∵点A（0，7）在直线y=x+b上，
∴7=0+b，
∴b=7；
(2)
解：由（1）求得直线AM：y=x+7，
∵“状元点”B在直线AM上，且满足y=1-x，
∴，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，4）；
(3)
解：∵点C是“状元点”，
∴设C（n，1-n），
∴AC=≤5，
整理得≤0，
解得：-7≤n≤1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，解不等式，勾股定理的应用等，确定“状元点”在直线y=1-x上是解本题的关键．
26．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241     “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484

【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．