新教材2023_2024学年高中数学第1章数列培优课数列求和分层作业湘教版选择性必修第一册

培优课　数列求和

A级 必备知识基础练

1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则它的前100项之和S100=(　　)

A.150 B.120 C.-120 D.-150

2.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{}的前n项和Tn=(　　)

A.(2n-1)2 B.4n-1

C. D.

3.数列{an}的通项公式为an=,若{an}的前n项和为5,则n的值为　　　　　. 

4.设等差数列{an-bn}的公差为2,等比数列{an+bn}的公比为2,且a1=2,b1=1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{2an+2n}的前n项和Sn.

5.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=,设Sn是数列{bn}的前n项和,求Sn.

B级 关键能力提升练

6.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N+,则{bn}的前10项之和为(　　)

A. B. C. D.

7.已知在前n项和为Sn的数列{an}中,a1=1,an+1=-an-2,则S101=(　　)

A.-97 B.-98 C.-99 D.-100

8.记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n+1,则S100的值为(　　)

A.5 050 B.2 600 C.2 550 D.2 450

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a7=13.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:当n∈N+时,=(Sn)2.

10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1,n∈N+.

(1)证明数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;

(2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.

C级 学科素养创新练

11.(多选题)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=数列{cn}的前n项和为Sn,则(　　)

A.an=2n-1

B.bn=2n

C.S9=1 409

D.S2n=2n2-n+(4n-1)

12.在等比数列{an}中,an>0,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=5-log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,设Tn=+…+,求Tn.

培优课　数列求和

1.A　S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150.故选A.

2.C　由等比数列前n项和的性质可知数列{an}为等比数列,且an=Sn-Sn-1=2n-1,则=4n-1,该数列{}是以1为首项,以4为公比的等比数列,其前n项和Tn=.故选C.

3.35　依题意得an=,

所以Sn=()+()+…+()=-1.

又因为Sn=-1=5,所以n=35.

4.解(1)因为a1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,

依题意可得an-bn=1+2(n-1)=2n-1,an+bn=3×2n-1,故an=.

(2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)=+5×(2n-1)=5×2n+n2-5.

5.解(1)因为在等差数列{an}中,a2+a3+…+a10=144,a1=1,所以9+45d=144,所以d=3.

所以数列{an}的通项公式an=3n-2.

(2)因为bn=),所以Sn=b1+b2+…+bn=+…+)=(1-)=.

6.D　因为anbn=1,an=n2+5n+6,所以bn=,故{bn}的前10项之和为+…+,故选D.

7.C　由an+1=-an-2,得an+an+1=-2,则S101=a1+(a2+a3)+…+(a100+a101)=1-2×50=-99.故选C.

8.B　当n为奇数时,an+2-an=2,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列;

当n为偶数时,an+2-an=0,数列{a2n}是首项为2,公差为0的等差数列,即常数列.

则S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50+×2+50×2=2600.故选B.

9.(1)解设等差数列{an}的公差为d,

由a2=3,a7=13,可得解得

所以an=1+2(n-1)=2n-1.

故数列{an}的通项公式为an=2n-1.

(2)证明由(1)有Sn==n2.

所以=(n2)2=n4,(Sn)2=(n2)2=n4,

故当n∈N+时,=(Sn)2.

10.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,可得a1=1;

当n>1时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),即an=2an-1.

则数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,可得an=2n-1.

(2)∵bn=n·an=n·2n-1,

∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1, ①

∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n, ②

①-②得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1-(n-1)×2n.

∴Tn=(n-1)×2n+1.

11.ABD　设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,依题意有故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)==2n2-n+(4n-1),S9=S8+a9=385,故C错误,D正确.

12.解(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴+2a3a5+=25.

又an>0,∴a3+a5=5.

又a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.

∵q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.

∴q=,a1=16.

∴an=16×=25-n.

(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,

∴Sn=.

∴Tn=+…+=2[+…+]=2.