高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法习题

*1.4　数学归纳法

A级 必备知识基础练

1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(　　)

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

2.对于不等式<n+2(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当n=1时,<1+2,不等式成立.

(2)假设当n=k时,不等式成立,即<k+2,那么,当n=k+1时,

<

=(k+1)+2.

这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任何正整数n都成立.则上述证法(　　)

A.过程全部正确

B.n=1的验证不正确

C.n=k的假设不正确

D.从n=k到n=k+1的递推不正确

3.一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(　　)

A.一切正整数命题成立

B.一切正奇数命题成立

C.一切正偶数命题成立

D.以上都不对

4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则(　　)

A.f(k+1)-f(k)=2k+2

B.f(k+1)-f(k)=3k+3

C.f(k+1)-f(k)=4k+2

D.f(k+1)-f(k)=4k+3

5.用数学归纳法证明“+…+(n∈N+)”时,由n=k到n=k+1,不等式左边的变化是(　　)

A.增加一项

B.增加两项

C.增加两项,同时减少一项

D.以上结论都不正确

6.用数学归纳法证明下列各式:

(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+);

(2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).

B级 关键能力提升练

7.用数学归纳法证明1++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步需要证明(　　)

A.1<2-

B.1+<2-

C.1+<2-

D.1+<2-

8.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(　　)

A.an=3n-2 B.an=n2

C.an=3n-1 D.an=4n-3

9.已知f(n)=+…+,则(　　)

A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=

B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=

C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=

D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=

10.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=　　　　　. 

11.用数学归纳法证明不等式:1++…+<2(n∈N+).

12.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).

(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

C级 学科素养创新练

13.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

*1.4　数学归纳法

1.C　由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.

2.D　n=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有使用假设,只是通过放缩法直接证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D.

3.B　本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即对一切正奇数命题成立.

4.B　由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B.

5.C　当n=k时,不等式左边为+…+,当n=k+1时,不等式左边为+…+,故不等式左边的变化是增加两项,同时减少一项.

6.证明(1)①当n=1时,左边=12=1,

右边=(-1)0×=1,

左边=右边,等式成立.

②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·,那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·[(k+1)-]=(-1)(k+1)-1·.

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

根据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.

(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.

②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),

那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].

这表明,当n=k+1时,等式也成立.

由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立.

7.C　当n=2时,不等式的两边分别是1+<2-,故选C.

8.B　计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.

9.D　结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1个,且f(2)=.

10.　由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,

由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,

依次得S3=,S4=,猜想Sn=.

11.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.

(2)假设当n=k时,不等式成立,即1++…+<2,

那么,当n=k+1时,

1++…+<2=2.

这表明,当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)和(2)可以断定,不等式对任意n∈N+都成立.

12.(1)解当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;

当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,解得a2=;

当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,解得a3=;

当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,解得a4=.

由此猜想an=(n∈N+).

(2)证明①当n=1时,a1=1,猜想成立.

②假设当n=k时,猜想成立,即ak=,

那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,则2ak+1=2+ak,

则ak+1=.

这表明,当n=k+1时,猜想也成立.

由①和②可以断定,猜想an=对任何正整数n都成立.

13.(1)解由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,

可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,

猜想an=(n-1)λn+2n.

(2)证明①当n=1时,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.

②假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)λk+2k,

那么,当n=k+1时,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ·(k-1)λk+λ·2k+λk+1+(2-λ)2k=k·λk+1-λk+1+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k=k·λk+1+2k+1=[(k+1)-1]·λk+1+2k+1.

这表明,当n=k+1时,猜想也成立.

由①和②可以断定,猜想对任何正整数n都成立.