奥数六年级下册秋季课程 第2讲《长方体与正方体的体积》教案

六年级                                               备课教员：××× 

第2讲    长方体与正方体的体积

一、教学目标：

1. 理解长方体和正方体体积的意义。

2. 在已有的基础上再加深对于体积及相关类型题目的认识，

   拓展思维。

3. 能够对公式变式的灵活运用。

4. 抽象概括能力、推理能力和思维的灵活性的提高，空间观

   念加强。

二、教学重点：

明白体积的意义并能够根据实际情况解决问题。

三、教学难点：

对于各种变式体积求法的掌握及画图法的运用。

四、教学准备：

PPT、铁块、鱼缸

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分钟)

师：同学们，我们以前是不是学过长方体和正方体的体积计算？

生：……

师：哪位同学还记得它们的体积公式？

生：……

师：是的，长方体的体积公式是长×宽×高；正方体的体积公式是棱长×棱长

    ×棱长，那接下来老师带领大家做一个实验，你们想不想做这个实验呢？

生：想。

师：看这些是什么？

生：一个正方体的玻璃鱼缸和一个长方体的铁块还有一瓶水。

师：那现在老师把这瓶水倒入鱼缸中，然后再把水的高度做好记号；精彩的时

刻来了，看，当我把这个铁块放入水中时，发生了了什么，你们又看到了

什么？

生：……

师：是的，水面上升了，那这时水的体积和原来的体积相比有什么变化呢？和

铁块又有什么关系呢？带着这个疑问，让我们走进今天的课堂《长方体与

正方体的体积》。

板书：

     长方体和正方体的体积

二、探索发现授课（40分钟）

（一）例题一：（10分钟）

    一只长50厘米，宽40厘米的玻璃缸，完全放入棱长为10厘米的正方体铁块，这时水深20厘米，如果把铁块从缸中取出，缸中水深是多少？（水未溢出）

（PPT出示)

师：同学们，铁块取出之后会发生什么呢？

生：水会下降。

师：是的，铁块取出后水会下降，水为什么会下降？下降的那部分水的体积与

    铁块有什么关系？你们知道吗？

生：它们的体积相等。

师：是的，它们的体积相等，这时就有：有铁块时体积和没铁块时体积的区别；

    那么有铁块时的体积怎么列式？大家一起说：50×40×20=40000立方厘米。

师：是的，有铁块时体积就是40000立方厘米，那没铁块时水体积又是多少呢？

生：……

师：是的，同学们都很棒，知道无铁块时水体积就是有铁块时水体积减去铁块

的体积，那同样的我们也一起大声地说出来吧：40000－10×10×10=39000

立方厘米。

师：好，同学们，现在我们已经知道没铁块时水体积，那接下来该怎么办呢？

    39000立方厘米就是我们最终要求的答案吗？

生：……

师：对的，这不是我们最终要求的答案，因为要求的是铁块取出后水深，那么

你看现在已经知道没铁块时水体积，也可以算出玻璃缸的底面积，那这时

的水深可不可以算出来？又该怎么算呢？

生：……

师：是的，这时的水深就是用没铁块时水体积÷玻璃缸的底面积，大家一起说

    说怎么列式：39000÷（50×40）=19.5厘米。

板书：

 50×40×20=40000（立方厘米）          

 40000－10×10×10=39000（立方厘米）     

 39000÷（50×40）=19.5（厘米）

答：缸中水深19.5厘米。

（PPT出示)

（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）

练习一：（5分钟）

一只长120厘米，宽160厘米的长方体水槽，完全放入一块长方体铁块，这样水面高度就比原来上升2厘米，已知铁块的长和宽都是20厘米，求铁块高？（水未溢出）

（PPT出示)

分析:

本题是求铁块的高度，通过已知条件水槽的长、宽和放入铁块后水面上升高度，可以知道铁块的体积，因为放入铁块后水上升的体积等于铁块的体积；在算出铁块的体积后，再根据条件铁块的长、宽都是20厘米，用体积除以底面积就得出铁块的高。

板书：

    120×160×2          38400÷（20×20）

   =38400（立方厘米）   =96（厘米）

答：铁块高96厘米。

（PPT出示)

（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）

师：同学们，今天老师给你们带来了一个数学谜题，我们一起来猜猜看，第一猜到的奖励2个大拇指哦。

海峡两岸盼统一（打一数学名词）

（PPT出示)

（二）例题二：（10分钟）

把一根长2米的长方体木料,平均截成3段,表面积增加了12平方米,原来长方体木料的体积是多少立方米？

（PPT出示)

师：同学们，在题中你知道了哪些信息？

生：……

师：是的，在题中告诉我们将长方体木料给切成3段后，表面积增加了12平方

    米，大家可以画出切之前和切之后的图。

师：同学们，对比两幅图，你有什么发现呢？

生：……

师：是的，发现增加了4个相同的面，而且这4个面是高×宽的面；那么再知

道这个条件后我们能不能算出一个高×宽的面的面积呢？如果能，我们又

该怎么算呢？

生：……

师：是的，能算出一个高×宽的面，因为4个高×宽的面是增加了12平方米，

    所以一个高×宽的面就是12÷4=3平方米，对吗？

生：……

师：同学们，你们发现了吗，当算出高×宽这个面的面积后，这根木料的体积

    其实也出来了，有谁发现了吗？发现了的请告诉老师。

生: ……

师：是的，刚刚的几位同学都很棒，用刚刚算出的面积4平方米乘以长就是这

    根木料的体积。同学们，你们学会了吗？

生：会。

师：光说不练假把式，我们一起来写出解题过程。

板书：

 12÷4=3（平方米）             

 3×2=6（立方米）

答：原来长方体的木料的体积是6立方米。

（PPT出示)

（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）

练习二：（5分钟）

    将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？

（PPT出示)

分析：

本题和例题类似，画图后会发现增加了4个底面，因为都是底面所以面积相等，因此可以算出一个底面积，知道底面积后再乘以长就是原来的体积。

板书：

0.36÷4=0.09（平方分米）      0.09×3×10=2.7（立方分米）

答：这根木料的体积是2.7立方分米。

（PPT出示)

（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）

三、小结：（5分钟）

1. 仔细审题，合理运用题目中的条件。

2. 结合图形和实际情况帮助解题。

第二课时（50分钟）

一、导入（5分钟）

师：同学们，还记得我们上节课学了什么吗？

生：……

师：是的，上节课我们学了将正方体放入水中求体积的题型和长方体分割后表

    面积也相应增加，求原长方体的体积。那你们还记得老师做的那个实验吗？

生：……

师：记得就好，那如果现在老师将原来的铁块给换成一个更大的铁块，这时铁

    块没有完全浸入水中，其他的条件不变，你还能求出这个铁块的体积吗？

生：……

师：好，有些同学就开始犯难了，没有想法着急了，没事，在这堂课里老师将

    教会你们这种方法，我们一起解决比之前稍微难一点的题型吧。

二、探索发现授课（40分钟）

（一）例题三：（10分钟）

    一个长方体，如果高增加2厘米就成了一个正方体，而且表面积增加56平方厘米，求原长方体的体积？

师：同学们，看老师画的图，当高增加了2厘米时，这个长方体就变成了正方

    体，从这里你们发现了什么吗？

生：这个长方体的长和宽相等，增加了四个面的面积。

师：是的，原长方体的长和宽相等，当高增加了2厘米后，是增加了四个面的

    面积；而且当长和宽相等时，增加的四个面的面积也怎么样啊？

生：……

师：是的，增加的四个面面积相等，也就是说每个面的面积是增加的表面积除

    以4，即14平方厘米，而长（宽）是多少啊？

生：……

师：是的，长（宽）就是面积除以增加的高，就是14÷2=7厘米。那么原来的

    高，你们可以算出来了吗？

生：……

师：好，那一起说：7－2=5厘米，就是原长方体的高。

师：是的，现在已经知道了长、宽、高，那么原长方体的体积，你们自己能不

    能算出来，能就大声说出你是怎么算的！

生：7×7×5=245立方厘米。

师：同学们真的是太棒了，接下让我们进入今天的冒险屋吧！

生：……

板书：

 56÷4÷2=7（厘米）      

 7－2=5(厘米）  

 7×7×5=245（立方厘米）

答：原长方体的体积是245立方厘米。

（PPT出示)

（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）

练习三：（5分钟）

    一个长方体高减2厘米，就成了一个正方体,表面积减少24平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？

分析：

在这里是高减去2厘米，长方体就变成正方体，说明长和宽相等，且减少的四个面的面积也相等，所以可以求出每个面的面积，在知道每个面的面积之后，根据长和宽相等这个条件可以算出长和宽；算出长和宽后，就可以算出原来长方体的体积了。

板书：

24÷4÷2=3（厘米）      

3＋2=5（厘米）   

3×3×5=45(立方厘米）

答：原长方体的体积是45立方厘米。

（PPT出示)（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）

师：同学们，老师今天又给你们带来了个24点游戏。

1   3   10   6

（PPT出示)

（二）例题四：（10分钟）

有一正方体容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问会溢出多少立方厘米的水？

师：同学们，你们说这根铁棒能够全部插入水中吗？

生：不能。

师：那为什么不能？铁棒可以插入水中多长呢？

生：……

师：是的，因为正方体容器的棱长只有25厘米，铁棒却长50厘米，所以不能

    全部插入水中，铁棒最多只能插入25厘米。那当铁棒插入后水会干嘛？

生：……

师：对，水会溢出来，溢出来的水的体积和铁棒插入部分有什么关系？

生：……

师：是的，溢出来的水的体积和铁棒插入部分的体积相等，所以当我们把铁棒

插入部分的体积算出，就是算出了溢出来水的体积。那铁棒插入部分怎么

求呢？

生：……

师：对的，这位同学观察地很仔细。其实一开始就告诉了我们有关铁棒插入部

分的信息，首先告诉了铁棒的底面积，然后通过观察我们得出插入部分的

长（高）是25厘米；所以铁棒插入部分的体积是：12×25=300立方厘米。

所以溢出的水的体积是？

生：300立方厘米。

师：不错，自己动手试试吧！

板书：

12×25=300（立方厘米）

答：会溢出300立方厘米的水。

（PPT出示)（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）

练习四：（5分钟）

一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形。容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米。现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？

分析：

因为露出水面的铁块上被浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积=长×宽×高求出高为24厘米的铁块的体积，再除以水面的面积就可以求出下降的高度，在加上24厘米就是露出水面的铁块上被水浸湿的部分。

板书：

      15×15×24=5400（立方厘米）        

      60×60－15×15=3375（平方厘米）    

  5400÷3375＋24=25.6（厘米）

答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米。

（PPT出示)

（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）

（二）例题五：（选讲）

有一个长方体水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米?

师：同学们，你们看完题目有发现铁块是怎样的吗？

生：铁块有一部分是还露在水面外。

师：是的，铁块还有一部分是露出水面。那现在铁块没完全浸入水中，又要求

    放入铁块后水的高度，那我们该怎么办呢？动动你们的大脑想一想？

师：有想到的同学吗？说说你是怎么想的？

生1：……

生2：……

师：嗯，同学们都有认真去想，也有同学想到了。我们一起看看吧！其实你们

有没有发现，放入铁块和没放铁块的区别！放入铁块后水的底面积还是原

来容器的底面积吗？想想？

生：……

师：不是了对不对，这时的底面积应该是容器的底面积减去铁块的底面积。一

    起说说现在的底面积是怎么算的：40×30－20×20=800平方厘米。

师：知道了现在的底面积后，再用原来水的体积除以现在的底面积得到的就会

是有铁块时水的高度，同样的说说你是怎么列式的吧：40×30×10÷800。

师：你们都学会了吗？

生：……

板书：

40×30－20×20=800（平方厘米）         

40×30×10÷800=15（厘米）          

答：这时水面高15厘米。

（PPT出示)（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）

练习五：（选做）

有一个长方体容器，从里面量长30米，宽20米，深25米，容器中水面高5米。放进一个正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高6米。求正方体铁块的体积?

分析：

    在题中已经知道有铁块时的水高，那么用原来水的体积除以现在的水高就可以知道现在的底面积，再用容器的底面积减去现在的底面积就得出正方体铁块的底面积，通过正方形面积公式可以知道正方体的棱长从而算出正方体的铁块的体积。

    30×20×5÷6      30×20－500       100=10×10

   =3000÷6          =600－500          100×10=1000（立方米）

   =500（平方米）    =100（平方米）

答：正方体铁块的体积是1000立方米。

（PPT出示)

（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）

三、总结：（5分钟）

1. 审题要仔细，看清楚究竟是增加了哪几个面的面积或减少了哪几个面的面

   积。

2. 条件的理解要透彻，看清是否被浸没。

3. 结合实际情况解题。

四、随堂练习：

1. 一个长方体长16分米，高6分米,沿水平方向横切成两个小长方体,表面积增

   加160平方分米,求原长方体体积？

板书：

    160÷2×6=480（立方分米）

答：原长方体体积是480立方分米。

2. 把一个棱长14厘米的正方体铁块，铸造成一个底面积是112平方厘米的长方

   体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？

板书：

    14×14×14=2744（立方厘米）        

    2744÷112=24.5（厘米）

答：这个长方体铁块的高是24.5厘米。

3. 一块长方形铁皮，长5米，宽3米，从四角各剪掉一个边长为0.5米的正方形，

   然后做成盒子，这个盒子的容积有多少升？

板书：

      5－0.5×2=4（米）       

      3－0.5×2 =2（米）       

      4×2×0.5=4（立方米）  

      4立方米=4000升

答：这个盒子的容积有4000升。

4. 一个长方体的鱼缸长40厘米，宽32厘米，水深20厘米。把棱长16厘米的正方

   体铁块完全放入缸内，水面上升多少厘米？(水未溢出）

板书：

16×16×16=4096（立方厘米）  

4096÷（40×32）=3.2（厘米）            

答：水面上升3.2厘米。

5. 在一只棱长为40厘米的正方体玻璃缸内装满水，再将这些水倒入一只长80厘

   米，宽40厘米，高30厘米的长方体容器内，求这时水深？

板书：

     40×40×40=64000（立方厘米）         

     64000÷（80×40）=20（厘米）

答：这时水深20厘米。

家庭作业

线上作业：第2讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处