初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教案设计

《一只闯荡几何丛林的蚂蚁》教学设计

——勾股定理的应用之空间最短路径问题

教学目标

知识与技能

1、掌握勾股定理的简单应用，探究空间最短路径问题；

2、能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题。

过程与方法

经历运用勾股定理解决实际问题的过程，在数学 闯关活动中发展学生的探究意识

情感态度与价值观

敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力。

教学重、难点

重点

1、能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握空间最短路径问题；

2、探索空间与平面图形之间的关系。

难点

熟练运用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用能力。

教学准备

Ppt课件、正方形和长方形磁力片

教学过程

创设情境 引入课题

师：今天老师给大家带来了一位动物朋友，请大家猜猜它是谁：“身体虽不大，

力气可不小，有时搬粮食，有时挖地道，团结又互助，勇敢又勤劳。”

生：蚂蚁

（板书课题）

师：有这样一只蚂蚁，它一直闯荡在几何丛林中，蚂蚁妈妈在树下给它留下了一份礼物，需要它在几何丛林以最短的时间闯过八个关卡，才能得到礼物，我们来一起帮帮蚂蚁君好不好！

生：没问题

师：好的，那么我跟着蚂蚁君开始闯关！

闯关活动

第一关

师：蚂蚁君进入了一个平面，如果要从A点爬到B点，怎样爬路线最短？

生：连接AB，两点之间，线段最短。

师：这一关主要是研究了平面最短路径问题，顺利过关。下面我们进入下一关卡。

第二关

师：蚂蚁君来到了边长为1正方体面前，它要从A顶点沿着正方体的外表面爬到B顶点，该怎样爬路径最短，最短路径是多少？

师：这个问题研究的是空间最短路径问题。还记得我们在求空间最短路径问题时，是怎样做的吗？

生：把图形展开。

师：很好。空间最短路径问题千年不变的解题思想就是把空间问题转化为平面问题，万年不变的具体操作就是将几何体外表面展开，我们把正方体的外表面分别称作上下左右前后六个面，从A点出发，到B点有几种展开方式？（用磁力片展示）

前右左后展开                      前上和后下                     左上右下

这六种路线是两两相对的，选取其中一种，因此从A点爬到B点就3种路径，如图：

又因为正方体的边长都一样，这三种路径的平面图如图：

只要沿着这条路径爬就是最短的，大家算一算，最短路径是多少？

生：由勾股定理得：AB==蚂蚁从A到B的最短路径是。

师：真棒！第二关也顺利通关了，有没有信心往下走？

生：有！

师：下一关

第三关

师：蚂蚁君来到长为2，宽为1，高为3的长方体中，它从A顶点沿着长方体的外表面爬到B顶点的最短路径是多少？帮它算算吧？方法同正方体一样展开，有几种方式？能不能分别画出它们来？请一位同学用磁力片在黑板上拼出展开图。

生：三种。

下右                           前右                           前上

展开图：

分别算出三种长度

因为<<所以最短路径为，即为。

师：大家有没有发现这三种展开图的边长有没有什么规律？

生：长宽高两两相加

师：很好。大家只要记住这个规律，再碰到这种类型的长方体就能很快的画出它的展开图了。又掌握了一种新技能。

我们来一起看看下一关卡吧。

第四关

师：蚂蚁君爬到一个高为8，底面的半径为5的圆柱体A点处，则它沿圆柱表面爬到右上角B点，怎么爬，爬多少？

生：把圆柱体侧面展开，如图：

根据勾股定理可以得出最短路径是

第五关

师：蚂蚁君来到边长为1的无盖立方体，它要从A点沿着外表面爬一周到达C，怎样爬最短，最短路径是多少？

提示一下，蚂蚁爬一周要爬几个面？画出它的展开图你就能算出来！

生：展开图是四个并排的正方形，A，C在对角顶点，连接AC，沿着AC爬最短，一条直角边是4，一条直角边在1，根据勾股定理求出AC的长为

师：五关顺利通过，蚂蚁君真的要谢谢你们了哈！我们来总结一下，求空间最短路径的解题方法，首先先确定最短路径，正方体一般是两个正方形的面展开，而长方体的展开方式有三种，直角边长分别是长宽高两两相加，圆柱体把侧面展开后注意的地方就是有一条直角边是底面周长的一半或是刚好等于底面周长，依次连接两点的连线，确定最短路径；接下来就是求最短路径用勾股定理求斜边！

老师发现你们前五关掌握的技能非常棒，有没有信心后面三关开挂？

生：当然有啦！

第六关

蚂蚁君来到一个矩形场地，长和宽分别为3.6米和3米，如图堆放着一根长方形的木块，木块的棱与矩形场地的边平行，且木块的正视图是边长为0.2米的长方形，它要从A处爬到C处需要走的最短路程是多少米？好好想一想，它要在木桩上爬几个面？比没有木桩的情况下多走几个面，能不能画出它的展开图？

生：多走2个长方体的侧面，就可以把矩形场地和长方体木桩拉开，如图

一条直角边为3.6+0.2×2＝4，另一条直角边是3，就可以算出最短路程是5。

终极关卡

我们让蚂蚁君休息一下，不爬了，来绕线球。如图，长方体的底面边长分别为3cm和1cm，高为6cm，如果从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达B点，那么所用细线最短需要多少cm，缠绕2圈呢？缠绕n圈呢？

我们先来看1圈的，前面我们已经做了正方体绕1圈的，仿照它来画画长方体的一圈展开图，算算最短需要多少细线？

生：经过长方体4个侧面展开，连接对角顶点，一条直角边为8，另一条直角边为6勾股定理算得斜边为10，需要10cm细线。

师：缠绕2圈，经过几个侧面？画出展开图！

生：经过8个侧面展开，相当于绕一圈的2倍，连接对角顶点，一条直接边是16＝8×2，另一条直角边为6，算的斜边为cm。

师：n圈呢？有没有规律？

生：有规律，n圈就是展开n次4个侧面，一条直角边为8n，另一条为6，算的斜边为cm。

师：你们真的很不错，帮助蚂蚁君顺利通关了！通过这节课我们研究了平面最短路径，空间最短路径和平面和空间结合的最短路径，相信你们通过这节课的学习，以后再碰到这种类型的题目一定所向披靡！我们和蚂蚁君来一起开宝箱吧！看看蚂蚁妈妈留给蚂蚁君什么礼物？

“事虽难，做则成，路虽远，行则至”

    这一路走来，所碰到的层层关卡，我们都是积极面对，通过大家的努力都顺利通关了！数学的学习之路也一样，人生也是一样，面对一些难题，我们也应该积极面对，不能退缩，相信你们只要抱着这样的学习态度和生活态度，一切难事都不存在！奋斗吧！少年！

这节课我们就愉快的结束了！谢谢大家！

作业布置

专题练习见附件

板书设计

一只闯荡几何丛林的蚂蚁

        平面最短路径

        空间最短路径

    平面和空间结合    外表面展开  勾股定理求斜边

    绕几何体n圈

附件：

《勾股定理之最短路径问题》练习题

1.如图一只蚂蚁要从正方体一个顶点A爬到另一个顶点B，如果正方体棱长是2，求最短路线长_____________.
 

2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是___________．
 

3.如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，则最短路线长为（           ）cm.
 

A.（6+4π）cm      B.2cm        C.7πcm               D.5πcm

4.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______________cm．
 

5. 问题：如图(1)，一圆柱的底面半径为5分米，高AB为5分米，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC．如图(2)所示：设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2
路线2：高线AB+底面直径BC．如图(1)所示：设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12-l22＞0，
∴l12＞l22，∴l1＞l2，所以要选择路线2较短．

(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=______；
路线2：l22=(AB+BC)2=______．∴l1______l2 ( 填＞或＜)，所以应选择路线______(填1或2)较短．
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．