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    备战2024年新高考数学专题训练专题20 函数的基本性质综合问题 多选题(新高考通用)

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    备战2024年新高考数学专题训练专题20 函数的基本性质综合问题 多选题(新高考通用)

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    这是一份备战2024年新高考数学专题训练专题20 函数的基本性质综合问题 多选题(新高考通用),文件包含专题20函数的基本性质综合问题多选题新高考通用原卷版docx、专题20函数的基本性质综合问题多选题新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共48页, 欢迎下载使用。
    专题20 函数的基本性质综合问题 多选题(新高考通用)
    1.(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)已知定义在上的函数满足,且为偶函数,则下列说法一定正确的是(    )
    A.函数的周期为2 B.函数的图象关于对称
    C.函数为偶函数 D.函数的图象关于对称
    【答案】BC
    【分析】根据给定的信息,推理论证周期性、对称性判断AB;借助变量替换的方法,结合偶函数的定义及对称性意义判断CD作答.
    【详解】依题意,上的函数,,则,函数的周期为4,A错误;
    因为函数是偶函数,则,函数的图象关于对称,
    且,即,函数图象关于对称,B正确;
    由得,则函数为偶函数,C正确;
    由得,由得,
    因此,函数的图象关于对称,D错误.
    故选:BC
    2.(2023·广东茂名·统考一模)已知函数对,都有,为奇函数,且时,,下列结论正确的是(    )
    A.函数的图像关于点中心对称
    B.是周期为2的函数
    C.
    D.
    【答案】ACD
    【分析】根据为奇函数得,推出,判断A;结合,推出,判断B;采用赋值法求得,判断C;利用函数的周期性结合题设判断D.
    【详解】由题意为奇函数得,即,
    故的图像关于中心对称,故A正确;
    由,得,
    所以,即是周期为4的函数,故B错误;
    由,令,则,
    故,故C正确;
    时,,
    ∵的周期为4,∴,故D正确,
    故选:
    3.(2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知定义域为的函数在上单调递增,,且图像关于对称,则(    )
    A. B.周期
    C.在单调递减 D.满足
    【答案】AC
    【分析】根据题意化简得到,得到的周期为,结合,求得,得到A正确,B错误;再由的对称性和单调性,得出在单调递减,可判定C正确;根据的周期求得,,,结合特殊函数的图象,可判定D不正确.
    【详解】由,可得的对称轴为,所以
    又由知:,
    因为函数图像关于对称,即,故,
    所以,即,
    所以,所以的周期为,所以,所以,故A正确,B错误;
    因为在上单调递增,且,所以在上单调递增,
    又图像关于对称,所以在上单调递增,
    因为关于对称,所以在上单调递减,
    又因为关于对称,可得函数在单调递减,故C正确;
    根据的周期为,可得,
    因为关于对称,所以且,
    即,
    由函数在上单调递减,且关于对称,可得在上单调递增,
    如图所示的函数中,此时,
    所以不正确.
    故选:AC.

    【点睛】规律探求:对于函数的基本性质综合应用问题解答时,涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到,函数的对称性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律,因此在解题时,往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
    4.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设定义在上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则下列说法中一定正确的是(    )
    A.函数的图象关于点对称 B.
    C. D.
    【答案】BC
    【分析】由得,结合得,即可令求得.
    对A,由可判断其对称性;
    对C,由为奇函数可得的周期、对称性及特殊值,从而化简;
    对BD,由,结合C即可判断.
    【详解】对A,∵,则,则,
    又,所以,令,可得,即.
    所以,所以函数的图象关于对称,A错;
    对C,∵为奇函数,则图像关于对称,且,
    ∴,,,,∴.
    又,∴,∴的周期,
    ∴,C对;
    对B,,则是周期的函数,,B对;
    对D,,D错.
    故选:BC.
    5.(2023·吉林·东北师大附中校考二模)定义在R上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是(    )
    A. B.时,
    C. D.
    【答案】AC
    【分析】根据函数的满足,可确定函数的周期性,从而可判断A;结合周期性由时的解析式即可得时的解析式,从而可判断B;根据函数周期性与对称性即可判断C,D.
    【详解】因为函数的,所以,则,故函数的周期为,所以,故A正确;
    又当时,,则当时,,,故B不正确;
    由周期可得,又函数是R上的奇函数,
    所以,即,所以,故C正确;
    当时,,所以,又因为,所以,,
    则,所以,故D不正确.
    故选:AC.
    6.(2023秋·江苏·高三统考期末)设函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=+b,若f(0)+f(3)=-1,则(    )
    A.b=-2 B.f(2023)=-1
    C.f(x)为偶函数 D.f(x)的图象关于对称
    【答案】AC
    【分析】根据f(2x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,求出函数f(x)的周期,并结合f(0)+f(3)=-1求出a,b的值,即可判断A;由f(x)的周期可求出f(2023)即可判断B;f(x+2)为偶函数得,结合f(x)的周期即可判断C;由即可判断D.
    【详解】为奇函数,,
    令,则;用替换,则,
    又为偶函数,,
    令,则;用替换,则,
    ,用替换,则,
    ,则的一个周期为4,
    由,解得,故A正确;
    ,故B错误;
    由,得,得为偶函数,故C正确;
    时,,不关于对称,故D错误,
    故选:AC.
    7.(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知奇函数满足,当时,,且,则实数a的值可以为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】AC
    【分析】根据题意可知函数是周期的周期函数,利用周期性可求出a的值.
    【详解】由题意函数是周期的周期函数,

    若,则,.
    所以,,
    则的所有可能取值为,
    经验证可知A,C正确,
    故选:AC.
    8.(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知为偶函数,且恒成立.当时.则下列四个命题中,正确的是(    )
    A.的周期是 B.的图象关于点对称
    C.当时, D.当时,
    【答案】ACD
    【分析】由可以得出函数的周期,判断选项A;由于又是偶函数,可以推出函数的对称性,判断选项B;是偶函数及周期性,判断选项C,D.
    【详解】由得,,所以的周期是.A正确.
    因为是偶函数,所以就是,即,所以的图象关于直线对称.B不正确.
    根据偶函数的对称性,C显然正确.
    当时,,则,即;
    当时,,则,即.
    所以D正确.
    故选:ACD.
    9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)已知是定义在上的奇函数,,设,则(    )
    A.函数的周期为 B.
    C.是偶函数 D.
    【答案】ABD
    【分析】先由函数是奇函数,,可判断函数的周期,再根据周期性可将选项B中的函数值转化,由函数奇偶性的定义判断是奇函数,根据函数周期性可以推得,进而求得.
    【详解】对于A:因为,所以是周期为的函数,故A正确;
    对于B:因为的周期为,所以,所以,,所以,故B正确;
    对于C:因为,所以是奇函数,故C错误;
    对于D:因为,所以,
    所以,
    因为,

    ,故D正确.
    故选:ABD.
    10.(2023·云南·统考一模)已知是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且,在单调递减,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性,再结合,逐项判断即可.
    【详解】因为是定义在R上的偶函数,是定义在R上的奇函数,且两函数在上单调递减,
    所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,
    所以,,
    所以,,,
    所以BD正确,C错误;
    若,则,A错误.
    故选:BD
    11.(2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习)已知是定义在R上的函数,若是奇函数,是偶函数,函数,则(    )
    A.当时, B.当时,
    C. D.
    【答案】BD
    【分析】利用函数的性质求出, 利用代入法当和当时求解析式,即可判断A、B;对于C,分别求出,在计算即可,对于D,由,利用等比数列的求和公式求.即可.
    【详解】因为是奇函数,是偶函数,
    所以,
    所以
    任取,则,
    所以,
    故A错误;
    任取,则,,
    所以,
    故B正确;
    因为,所以,
    所以



    当且时,
    所以



    当时,,
    满足,
    所以,
    所以,
    故C错误;
    由C的结论,,
    则,
    故D正确,
    故选:BD.
    12.(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知定义在上的奇函数满足,当时,,则下列选项正确的是(    )
    A.
    B.方程有5个不同的根
    C.若有解,则
    D.若无实数解,则可以取
    【答案】BD
    【分析】构造函数,根据题意得到为奇函数且周期,画出图象.对于A:利用周期和奇函数可判断;对于BCD:结合图象可判断.
    【详解】令,因为和都为奇函数,则为奇函数,即为其对称中心,
    且由,
    知:,即,
    则关于点对称,所以,
    所以的周期为,
    又时,,最大值,
    则的图象如下:

    对于A:,
    ∴,A错误;
    对于B:方程的根等价于与的交点,
    结合图像,由,则当时,共5个交点;
    当时,,没有交点,所以共5个交点,B正确;
    对于C:若有解,则,C错误;
    对于D:若无实数解,则,D正确.
    故选:BD
    【点睛】关键点睛:
    这道题的关键是构造函数,结合题意得到的性质画出的图象,数形结合即可求解.
    13.(2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试)已知函数,是定义域为的奇函数,的图像关于直线对称,函数的图像关于点对称,则下列结论正确的是(   )
    A.函数的一个周期为
    B.函数的图像关于点对称
    C.若,则
    D.若,则
    【答案】ABC
    【分析】根据奇偶性及对称性得到的周期性,令,则关于点对称,即可得到,从而得到,即可得到的对称性,再根据的奇偶性得到的周期性,最后根据周期性判断C、D.
    【详解】解:对于A:因为是定义域为的奇函数,所以,
    又的图像关于直线对称,所以,即,
    所以,则,即函数的一个周期为,故A正确;
    对于B:令,则关于点对称,
    所以,即,即,
    所以,即的图像关于点对称,故B正确;
    对于C:因为是定义域为的奇函数,所以,又的图像关于点对称,
    所以,所以,即函数的一个周期为,
    所以,又,,
    所以,即,所以,故C正确;
    对于D:因为是定义域为的奇函数,所以,
    所以,即,所以,
    所以,故D错误;
    故选:ABC
    14.(2023秋·辽宁锦州·高三统考期末)已知函数对任意实数,都满足,且,则(    )
    A.是偶函数 B.是奇函数
    C. D.
    【答案】AC
    【分析】令可得,从而可判断B;令可判断A;令,可得,令可判断C;由AC的解析可得函数的周期为2,从而可判断D.
    【详解】在中,
    令,可得,即,解得,故B错误;
    令可得,即,
    故函数是偶函数,即是偶函数,故A正确;
    令,则,故,
    令,可得,
    故,故C正确;
    因为是偶函数,所以,故,
    即,
    所以,所以,故函数的周期为2,
    因为,,所以,.
    所以,故D错误.
    故选:AC.
    15.(2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末)已知定义域为R的函数满足是奇函数,为偶函数,当时,,则(    )
    A.函数是偶函数
    B.函数的最小正周期为8
    C.函数在上有4个零点
    D.
    【答案】BCD
    【分析】由已知得出函数的图象关于点对称,关于直线对称,周期是8的周期函数,由对称性作出函数图象,由图象判断各选项.
    【详解】是奇函数,即图象关于原点对称,因此的图象关于点对称,,,
    是偶函数,即图象关于轴对称,因此的图象关于直线对称,,,
    ∴,也即,,从而,是周期函数,8是其一个周期,且,
    由此结合对称性作出函数的图象,如图,

    由图可知,A错,BCD正确,
    故选:BCD.
    16.(2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习)已知函数,的定义域均为,为偶函数,且,,则(    )
    A.为偶函数 B.为奇函数
    C.是以3为周期的周期函数 D.是以4为周期的周期函数
    【答案】ABD
    【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可.
    【详解】对于选项,由,将换成可得:,又因为,所以,
    即,将换成可得:,
    所以,所以为偶函数,故选项正确;
    对于选项,由可得:,将换成可得:
    ,因为为偶函数,所以,所以函数为偶函数,函数关于直线对称,因为,
    所以,即,将换成可得:
    ,又因为,所以,
    则,所以函数为奇函数,故选项正确;
    对于选项,由的分析可知:函数关于直线对称,且,
    则,所以函数是以4为周期的周期函数,故选项错误;
    对于选项,由选项的分析可知:,又因为为偶函数,
    所以,则函数是以4为周期的周期函数,故选项正确;
    故选:.
    17.(2023春·福建南平·高三校联考阶段练习)已知定义在上的奇函数,当时,,若函数是偶函数,则下列结论正确的有(    )
    A.的图象关于对称
    B.
    C.
    D.有100个零点
    【答案】ABD
    【分析】根据条件可得,,,即函数关于直线对称且周期为4的奇函数,利用周期性求出,判断选项;再画出函数与的函数部分图象,数形结合判断它们的交点情况判断选项.
    【详解】因为函数是偶函数,则,即,所以函数关于直线对称,故选项正确;
    又函数为上的奇函数,所以,则,即函数是周期为4的奇函数,由,即.
    所以,故选项正确;
    ,,
    所以,故选项错误;
    综上:,作出与的函数部分图象如下图所示:

    当时,函数过点,
    故时,函数与无交点;
    由图可知:当时,函数与有一个交点;
    当时,函数的每个周期内与有两个交点,共个交点,而且,
    即时,函数与无交点;
    当时,过点,
    故当时,函数与无交点;
    由图可知:当时,函数与有3个交点;
    当时,函数的每个周期内与有两个交点,共个交点,而且,
    即时,函数与无交点;
    综上,函数共有个零点,故选项正确,
    故选:.
    【点睛】关键点点睛:对于本题选项D,正确作出函数的大致图象,利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.
    18.(2023秋·山东德州·高三统考期末)已知定义在上的奇函数图象连续不断,且满足,则下列结论正确的是(    )
    A.函数的周期T=2 B.
    C.在上有4个零点 D.是函数图象的一个对称中心
    【答案】ABD
    【分析】首先判断函数的周期,再根据函数的周期和奇函数的性质,计算特殊值,并结合中心对称的性质,判断选项.
    【详解】A.因为函数满足,所以函数是周期函数,周期,故A正确;
    B.因为函数是定义域为的奇函数,所以,且,又函数是周期为2的函数,所以,所以,,,所以,故B正确;
    C.根据周期可知,且,所以函数在区间上至少有5个零点,
    故C错误;
    D.因为函数周期为2的奇函数,所以,且,所以,所以函数关于点对称,故D正确.
    故选:ABD
    19.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知偶函数与奇函数的定义域均为R,且满足,,则下列关系式一定成立的是(    )
    A. B.f(1)=3
    C.g(x)=-g(x+3) D.
    【答案】AD
    【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质,利用换为可判断A,利用赋值可判断B,推理得出后赋值可判断C,由条件推理可得,即可判断D.
    【详解】由,将换为知,故A对;
    ,奇函数中,
    则,,由为偶函数,,故B错;
    ,,
    又,,
    ,,故C错,
    ,则,即.
    ,,
    ,即,
    为偶函数,,
    ①,②
    由①②知,故D对.
    故选:AD.
    20.(2023秋·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数、的定义域均为,为偶函数,且,,下列说法正确的有(    )
    A.函数的图象关于对称 B.函数的图象关于对称
    C.函数是以为周期的周期函数 D.函数是以为周期的周期函数
    【答案】BC
    【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导,可得出合适的选项.
    【详解】对于A选项,因为为偶函数,所以.
    由,可得,可得,
    所以,函数的图象关于直线对称,A错;
    对于B选项,因为,则,
    又因为,可得,
    所以,函数的图象关于点对称,B对;
    对于C选项,因为函数为偶函数,且,
    则,从而,则,
    所以,函数是以为周期的周期函数,C对;
    对于D选项,因为,且,,
    又因为,所以,,
    又因为,则,所以,,
    故,因此,函数是周期为的周期函数,D错.
    故选:BC.
    【点睛】结论点睛:对称性与周期性之间的常用结论:
    (1)若函数的图象关于直线和对称,则函数的周期为;
    (2)若函数的图象关于点和点对称,则函数的周期为;
    (3)若函数的图象关于直线和点对称,则函数的周期为.
    21.(2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试)设定义在上的函数与的导函数分别为和,若,,且为奇函数,,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABD
    【分析】根据逆向思维得到 ,代入推出的对称轴 ,即可判断A选项;根据为奇函数推出对称中心,进一步得出,即的周期为4,即可判断C选项;由是由的图像变换而来,所以的周期也为4,进而判断B选项;再算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解,判断D选项.
    【详解】因为,所以.
    因为,所以,
    用去替,所以,所以.
    因为,取代入得到,得,
    所以,所以,
    所以的图象关于直线对称,所以,故A正确;
    因为为奇函数,则 过, 图像向右移动两个单位得到过,故图像关于对称,,所以,且.
    因为,所以,则的周期,
    所以,故C错误;
    因为,,所以的周期也为4,
    所以,,
    所以,故B正确;
    因为,,,,
    所以,故D正确.
    故选:ABD.
    22.(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模)已知函数的定义域为R,且为奇函数,为偶函数,且对任意的,且,都有,则下列结论正确的为(    )
    A.是偶函数 B.
    C.的图象关于对称 D.
    【答案】ABC
    【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称,再得出函数的单调性,然后由对称性变形判断ABC,结合单调性判断D.
    【详解】为奇函数,为偶函数,
    所以的图象关于点对称且关于直线对称,
    所以,,,

    ,所以是周期函数,4是它的一个周期.

    ,B正确;
    ,是偶函数,A正确;
    因此的图象也关于点对称,C正确;
    对任意的,且,都有,即时,,所以在是单调递增,
    ,,,
    ,∴,故D错.
    故选:ABC.
    23.(2023·云南·统考模拟预测)已知定义在R上的函数,对于任意的 恒有,且,若存在正数t,使得,则下列结论正确的是(    )
    A. B. C.为偶函数 D.为周期函数
    【答案】BCD
    【分析】根据条件运用赋值法逐项分析.
    【详解】对于A,对于任意的 恒有,
    令可得:,又, ,A错误;
    对于B,对于任意的恒有,
    令,则有,即,则有,B正确;
    对于C,对于任意的恒有,
    令,则有,变形可得,则为偶函数,C正确;
    对于D,对于任意的恒有,
    令可得:,,
    ,即是周期为的周期函数,D正确;
    故选:BCD.
    24.(2023·辽宁·校联考模拟预测)已知函数、的定义域均为.且满足,,,则(    )
    A. B.
    C.的图象关于点对称 D.
    【答案】BC
    【分析】利用题干等式逐项递推,可判断A选项的正误;利用函数的对称性的定义可判断BC选项;记,,其中,分析可知,这两个数列均为等差数列,确定这两个数列的首项和公差,结合等差数列的求和公式可判断D选项.
    【详解】对于A选项,因为,所以,函数的图象关于点对称,
    所以,,
    因为,所以,,即,
    因为,所以,,
    则,所以,,A错;
    对于B选项,因为定义域为的函数的图象关于点对称,则,B对;
    对于C选项,因为,所以,,
    联立,可得,
    所以,函数的图象关于点对称,C对;
    对于D选项,因为,令可得,
    所以,,故,
    因为,所以,,可得,
    所以,,可得,则,
    记,,其中,且,,
    则,,
    所以,数列是以为首项,公差为的等差数列,则,
    数列是首项为,公差为的等差数列,,
    所以,,D错.
    故选:BC.
    【点睛】关键点点睛:本题考查抽象函数基本性质的推导,解题的关键在于通过不断的迭代、消元,结合函数基本性质的定义进行判断.
    25.(2023秋·河北石家庄·高三校联考期末)已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,且,则(    )
    A. B.的图像关于点对称
    C.是周期函数,且最小正周期为8 D.
    【答案】ABD
    【分析】结合函数性质得最小正周期为4,且图像关于点对称,再结合选项理解辨析.
    【详解】令,则,又,故,故A正确;
    因为
    则,即①
    又,②
    ①+②得:,则的图像关于点对称,且
    故B正确;
    的图像关于直线对称,则,则,
    则,又,
    两式相减得,故,故最小正周期为4,
    故C错误;
    最小正周期为4,且图像关于点对称,
    ,,
    因为,故

    故D正确;
    故选:ABD.
    26.(2023·福建莆田·统考二模)已知函数的定义域为R,且为偶函数,则(    )
    A. B.为偶函数
    C. D.
    【答案】ACD
    【分析】对于A,利用赋值法即可判断;对于B,利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断;对于C,利用换元法结合的奇偶性即可判断;对于D,先推得的一个周期为6,再依次求得,从而利用的周期性即可判断.
    【详解】对于A,因为,
    令,则,故,则,故A正确;
    对于B,因为的定义域为,关于原点对称,
    令,则,又不恒为0,故,
    所以为奇函数,故B错误;
    对于C,因为为偶函数,所以,
    令,则,故,
    令,则,故,
    又为奇函数,故,
    所以,即,故C正确;
    对于D,由选项C可知,
    所以,故的一个周期为6,
    因为,所以,
    对于,
    令,得,则,
    令,得,则,
    令,得,
    令,得,
    令,得,
    所以,
    又,
    所以由的周期性可得:
    ,故D正确.
    故选:ACD.
    【点睛】关键点睛:本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性,再结合题设条件推得为周期函数,从而得解.
    27.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知函数的定义域为,为奇函数,且对于任意,都有,则(    )
    A. B.
    C.为偶函数 D.为奇函数
    【答案】BCD
    【分析】依题意可得,再由奇偶性得到,从而得到,即可判断A,由,可得,再由,即可求出,从而判断B,再结合奇偶性的定义判断C、D.
    【详解】解:由,得.
    由是奇函数,得,即,
    所以,即,所以,故选项A错误;
    由,得,由,得,所以,故选项B正确;
    由,,得,即为偶函数,故选项C正确;
    由,,得,则,
    即为奇函数,故选项D正确.
    故选:BCD
    28.(2023·山东·烟台二中校考模拟预测)已知函数的定义域均为,且满足,,,则(    )
    A. B.
    C.的图象关于点对称 D.
    【答案】ABD
    【分析】由得出的图象关于点对称,即;由和得出,判断选项A正确;由函数的图象关于点对称,判断选项B正确;由和得出的图象关于点中心对称,C错误;记,则数列和均为等差数列,利用等差数列的求和公式计算可得D正确.
    【详解】因为,所以的图象关于点对称,所以,
    因为,所以,即,
    因为,所以,
    代入得,即,A正确;
    因为定义域为的函数的图象关于点对称,所以,B正确;
    由,得,即,.
    因为,所以,
    又因为,相减得,
    所以的图象关于点中心对称,C错误;
    因为函数的定义域为,所以,所以.
    记,
    结合A、C分析知:数列是以为首项,为公差的等差数列,数列是以为首项,为公差的等差数列,
    故,,
    所以,D正确;
    故选:ABD.
    29.(2023·安徽合肥·统考一模)已知函数是偶函数,且.当时,,则下列说法正确的是(    )
    A.是奇函数
    B.在区间上有且只有一个零点
    C.在上单调递增
    D.区间上有且只有一个极值点
    【答案】ACD
    【分析】A选项,由是偶函数,故,结合,推导出,A正确;B选项,求出的一个周期为4,从而只需求在区间上的零点个数,结合函数性质得到,B错误;C选项,求导得到,换元后得到,,再次求导,得到的单调性,结合,,得到在上恒成立,得到在上单调递增;D选项,与C选项一样得到的单调性,结合零点存在性定理得到隐零点,进而得到的单调性,求出区间上有且只有一个极值点.
    【详解】函数是偶函数,故,
    因为,所以,
    故,
    将替换为,得到,故为奇函数,A正确;
    因为,故,故,
    所以的一个周期为4,
    故在区间上的零点个数与在区间上的相同,
    因为,而,故,
    其中,
    故在区间至少有2个零点,B错误;
    时,,
    则,
    令,,当时,
    所以,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    又,,
    故在上恒成立,
    所以在上恒成立,故在上单调递增,C正确;
    D选项,时,,
    故,令,,当时,
    则,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    因为,,,
    由零点存在性定理,,使得,
    当时,,当时,,
    时,,单调递减,时,,单调递增,
    所以区间上有且只有一个极值点,D正确.
    故选:ACD
    【点睛】设函数,,,.
    (1)若,则函数的周期为2a;
    (2)若,则函数的周期为2a;
    (3)若,则函数的周期为2a;
    (4)若,则函数的周期为2a;
    (5)若,则函数的周期为;
    (6)若函数的图象关于直线与对称,则函数的周期为;
    (7)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则函数的周期为;
    (8)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则函数的周期为;
    (9)若函数是偶函数,且其图象关于直线对称,则的周期为2a;
    (10)若函数是奇函数,且其图象关于直线对称,则的周期为2a.
    30.(2023·福建厦门·统考二模)定义在R上的函数满足,函数的图象关于对称,则(    )
    A.的图象关于对称 B.4是的一个周期
    C. D.
    【答案】AD
    【分析】对A:由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.
    对B:令,由及可得到的图象于对称且关于对称,故4为的一个周期,而不是的一个周期.
    对C:举例说明.
    对D:由的周期性求得的值.
    【详解】对A:因为关于对称,有,
    令,则,的图象关于对称.选项A正确;
    对B:由题设条件得,
    令,有,则的图象于对称,
    因为,有,
    即,则的图象关于对称.
    所以,又,所以,
    所以,所以,
    所以4为的一个周期,即,
    则.选项B不正确;
    对C:由上知图象关于对称,对称,
    则令符合题意,而.故C不正确;
    对D:因为图象关于对称,所以,
    故,有.选项D正确.
    故选:AD
    【点睛】关键点点睛:令是解题的关键,通过研究的对称性,周期性得到的性质,关于的求值问题也转化为的求值问题.


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