备战2024年新高考数学专题训练专题22 函数值的大小比较 综合问题（单选+多选）（新高考通用）

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 专题22 函数值的大小比较综合问题（单选+多选）（新高考通用） 一、单选题1．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知,则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.【详解】解:由题知构造,,所以,故在单调递减,所以,即,即,即因为,构造,,所以,即在上单调递增,所以,即,即,即,综上:.故选:D2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对数的单调性证明，即得解.【详解】解：因为，则，则，所以，从而，所以故选：A．3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知，，，则p，q，r的大小关系为（   ）A． B．C．  D．【答案】D【分析】根据指对互化得出，，，通过化简根据基本不等式得出，即，则再通过对数的单调性得出，即可得出答案.【详解】，，，，，，，由基本不等式可得：，则，，，则，，，故选：D.4．（2023·浙江·模拟预测）已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指对互化将，变形得，构造函数，求导验证其单调性，即可得函数值的大小关系，从而可得的大小.【详解】因为，所以可得，设函数，则，，令，则在上恒成立，所以单调递减，则，所以在上单调递减，所以，从而.故选：A．5．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小.【详解】由，，，∴，∴，，∴.故选：B.6．（2023·重庆·统考一模）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.【详解】，则，故函数在单调递减，单调递增，则则，即由，∴，故同理可证又，∴，则故选：C.7．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，，则x，y，z的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小.【详解】根据指数与对数的关系和（）为增函数：，由，即故可得，即综上：故选：D.8．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知，，，，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，得出，再判断，，得出结果.【详解】因为，，且，则，，即；所以，即，所以，即.所以.故选：B.9．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.【详解】,;;因为，所以，所以.综上可得.故选：A.10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）设，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正弦函数的单调性比较，由幂函数的单调性比较即可得解.【详解】在上单调递增，所以，即，，，在上单调递减，，所以，故可得.故选：A11．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若，，，，则a，b，c，d中最大的是（    ）A．a B．b C．c D．d【答案】C【分析】先将，，，变换为：，，，，得到，构造函数，，，结合导数和作差法得到，，从而得出，，，中最大值.【详解】因为，，，，所以；，设，，则，当时，，所以在上单调递增，则，即，所以，即；，设，，则，当时，，所以在上单调递增，则，即，所以，即；综上：， ，即，，，中最大的是.故选：C.12．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.【详解】因为，所以，所以函数单调递减， 则，因为函数单调递减，由有： ，因为函数在上单调递增，由有：，所以.故选：C.13．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断，即可得答案.【详解】由题意可得，，，又，由于，故，综合可得，故选：A14．（2023·湖南·模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为，，故构造函数，则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，又因为，，所以，．因为，又，所以，即，故，故选：A．15．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再构造可得到，即可得到答案【详解】设，则， 令，，因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，由，所以，所以当，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减，又，，从而即在上恒成立，故在上单调递增，所以，即，构建，则，令，则，当时，，则在单调递增，所以，即，故在上单调递增，则，故在恒成立，取，可得，构造，则，当时，，故在单调递增，所以，所以当时，，取，则，综上所述得：，即.故选：D.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再直接计算，从而得到，进而得到；由此得解.【详解】令，，则，故在上单调递减，所以，即，即，故；因为，，所以，故，即，即；综上：.故选：C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．17．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指对数函数的性质进行比较大小，比较的大小时要引入中间值，比较的大小时需要作比，即可选出答案.【详解】因为，又因为，所以，，所以，故选：D.18．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.【详解】解：因为，所以．设，则，故在上单调递增．因为，所以，即．设，则，当时，，则在上单调递减．因为，所以，即．综上．故选：B19．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意即可容易比较大小.【详解】由题可得：，令，则，当时，，又，则，即，故在单调递增，，则当时，，即，；令，则，当时，，又，则，即，故在单调递减，，故当时，，即，；综上所述，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小；处理问题的关键是能够结合已知数据，构造合理的函数，从而利用导数判断其单调性，再根据单调性比较大小，属综合困难题.20．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知，，，则（    ）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞b＞a【答案】A【分析】对两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案.【详解】，，两边取对数得：，，，令，，则，令，，则在上恒成立，所以在上为增函数，因为当时，恒成立，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，故，即，因为在上单调递增，所以.故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的.21．（2023·山东临沂·统考一模）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小.【详解】令，则在R上单调递增，由，则时，即，而，∵，∴..综上：.故选：B.22．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知数，构造函数比较a，b大小；构造函数比较a，c大小作答.【详解】令，当时，，即函数在上单调递增，则有，因此，即，令，，有，则在上单调递增，因此，即，则有，令，，因此在上单调递增，即有，则，于是，即，所以．故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.23．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案.【详解】，，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，则，，，，∴，排除D．，则，，，∴，排除B．比较与大小，先比较与大小，,，因为，所以所以在在上单调递增，，所以，所以，∴，综上.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案.24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）设，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，再根据，构造函数，比较的大小即可.【详解】因为，，.所以.因为，所以.构造函数，则，当时，，所以在上单调递减，则.因为，所以，所以，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式，对数式，三角式大小，难度较大.本类问题常利用估值和构造函数解决问题，估值时常利用.而构造函数需观察式子间联系，后利用函数单调性可比较式子大小. 二、多选题25．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由可得，进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.【详解】可得 ，时，为递减函数，故，故A正确；取，则，故B错误；令时，恒成立，故在上单调递增，时，有，故，故C正确；，，则，则，又则，故，故D正确；故选：ACD.26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】构造函数，通过函数单调性及，比较出各式的大小关系.【详解】设函数，易得在上单调递增.因为，，，所以，即.故选：ABD27．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】A选项，由题可得，结合可得b范围；B选项，，利用可得范围；C选项，，利用可得范围，后可得范围；D选项，，结合B选项可得范围.【详解】A选项，由题可得，得，故A错误；B选项，，当且仅当，即时取等号.故B错误；C选项，，当且仅当，即时取等号.则，故C正确；D选项，由B选项分析得，则，故D正确.故选：CD28．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断；根据的特征，构造函数，利用其单调性可得，可判断，判断C.【详解】由于，故为R上单调增函数，所以，而是上的增函数，故，所以，A正确；取满足，但，B错误；设，则，由于，故，即是上的增函数，故，由于，则，故，C正确；取，满足，而，故D错误，故选：29．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解.【详解】设，则，令，则是减函数，又，当时，，当时是减函数①，，即，，考察 ，构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数， ，即，，.故选：AB.30．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.【详解】，，且，所以，故选项A正确；，故选项B正确；要证，证，即证，由，，且，知，所以，故选项C正确；要证，即证，因为，所以，前后取得等号条件分别是和，所以不同时取得等号，故D选项正确；故选：ACD.