备战2024年新高考数学专题训练专题23 导数的综合问题（单选+填空）（新高考通用）

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题23 导数的综合问题（单选+填空）（新高考通用）

一、单选题
1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，即函数图象关于对称，则，
因为为奇函数，所以，
即函数图象关于点对称，
则，
所以，则，所以函数以4为周期，
，
因为，所以，
即，即，
也即，
令，则有，所以，
由得，所以以4为周期，
所以，
所以，C正确，
对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4，
且关于点对称，
，故A错误；
，B错误；
，D错误，
故选:C.
2．（2023·江苏泰州·统考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.
【详解】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，

令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，
即.
故选：D.
3．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.
【详解】令，函数的定义域为，
因为
所以，
故
故在R上单调递减，
又因为
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为
故选：B.
4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最值的步骤，但要注意对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，
所以函数在上没有最小值，
，
当时，当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此.
当时，令，，
，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，显然，
即，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示

当时，有两个根，不妨设，
当或时，；
当或时，；
所以在和上单调递减，在和上单调递增.
所以在与处都取得极小值，，不符合题意，
当时，，当且仅当，时取到等号，
当时，；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得最小值为，不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为
故选：D.
【点睛】解决本题的关键是将问题转化为求函数没有最小值，利用导数法求函数的最值步骤，但在研究与的大小关系时，借住函数的图象，得出对分和两种情况讨论即可求解.
5．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，，
令，
所以在区间递减；在区间递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数a的取值范围.
故选：D
【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.
6．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点定义可整理得到，令，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定在上单调递减，在上单调递增，并得到，，由可确定，由此化简所求式子即可得到结果.
【详解】由题意知：，，
联立两式可得：，
令，则；
令，则在上单调递增，
又，，
在上存在唯一零点，且，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子.
7．（2023·湖南·模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数），若存在，使得，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】，，，
，，
当时，，，
由得，由得，所以在上递增，在上递减，
在处取得最小值，，
，
令，则，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得恒成立，令，则恒成立，利用的单调性可得在时恒成立，即恒成立，构造函数，由其单调性得，即可得出答案.
【详解】因为，恒成立，
即恒成立．
令，则恒成立．
因为恒成立，故单调递增，
所以在时恒成立，
∴恒成立．
令，
．
令，则
∴单调递减．∴，即，
∴单调递减，故．
则正实数的取值范围是.
故选：B．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若恒成立，则；若恒成立，则；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若恒成立，则；若恒成立，则；③分段讨论法：对变量进行分段讨论，然后再综合处理．
9．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线l过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围.
【详解】点在直线l上方，即，因为，所以有且仅有一个正整数解.
设，则单调递增；单调递减，所以.
又，故可得图象如下图，

直线过定点，
当，有无数个正整数解，不合题意，故，
又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究的图象，由数形结合列式求解.
10．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（    ）
A．13 B．16 C．25 D．51
【答案】C
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以．
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
故选：C．
【点睛】方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题.
11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设，函数满足，则α落于区间（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】由题意，可知函数在上当时取得最大值，
且，
由于，则，
由，，，，
根据零点存在性定理，可知，
故选：C.

二、填空题
12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】构造函数，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】令，
则易得，
即为偶函数，
当时，有，
即函数在上单调递减，故在上单调递增，
由
得，
即，
由为偶函数得，
又在上单调递增，所以，
故答案为：．
13．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据已知得出，对恒成立，而在，上，，可得，将化为，令，根据导数得出其单调性，则可化为，即可根据单调性得出，令，根据导数得出，即可得出
，即可得出答案.
【详解】，对恒成立，
则，对恒成立，
，，
，，
则要满足，则，即，
化为：，
两边乘得：，
令，则，
令，解得，
则在上单调递增，
不等式，对恒成立，
即时，恒成立，
则可化为：，
当，时，，，
则根据单调性可得，
则，
令，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即在上单调递减，
则，
则，即，
，
综上，
故答案为.
14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________．
【答案】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.
【答案】4
【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果．
【详解】因为函数有两个极值点与
由，则有两根与
所以，得
因为，
所以，又
则，
所以
故答案为：
16．（2023·湖北·统考模拟预测）函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象得到，当时，分和两种情况讨论，时，将转化为，然后借助函数的单调性和最值解不等式即可.
【详解】由题意知，当时，；
当时，；当时，．
当时，，
结合图象知；当时，，当时，显然成立；
当时，，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以．
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：．
17．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是____________．
【答案】
【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
18．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围__________.
【答案】
【分析】令，分， ， ，利用导数法讨论求解.
【详解】解：令，
则，

①当时，，不符合题意；
②时，在区间上恒为负，在区间上恒为正，
则需在区间上恒为负，在区间上恒为正，
因为在区间上单调递增，则需，此时，符合题意；
③当时，在区间上恒为负，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，故在时取得极大值也是最大值，，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
19．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，的零点为______.
【答案】##
【分析】只用求方程的零点，讨论左右两个函数的最值即可求解.
【详解】由得，
因为，所以，
当且仅当，即，取等号，
令，，
令解得；令解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以要使，只能，，
所以零点为，
故答案为:.
20．（2023·广东湛江·统考一模）若函数存在两个极值点，且，则______．
【答案】
【分析】求导得到，，，，则，解得答案.
【详解】，定义域为，所以，
故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键.
21．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知曲线与的两条公切线的夹角正切值为，则________．
【答案】
【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性质及正切函数倍角公式，可求得两条公切线的夹角一半的正切值，即可求得直线AD的斜率.设点A的横坐标为，切点D的横坐标为，由导数法分别就A、D两点求同一条切线方程，从而建立方程，化简求值.
【详解】与互为反函数，图像关于直线对称，如图所示，

由题意，两条公切线的夹角正切值为，解得或，又为锐角，所以.
由对称性，不妨取AD直线进行研究，则直线AD的倾斜角，.
设点A的横坐标为，切点D的横坐标为，
则，，∴，即.
所以，，，即.
∴，则，即，则，所以，即，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用两切线为同一条切线得出方程，从而进一步求解.
22．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为________．
【答案】##0.75
【分析】不等式化为恒成立，由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．
【详解】原不等式化为恒成立，
由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何影响，
，当且仅当时等号成立，
设，则，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
所以的最小值是1，
所以的最小值是，
从而，的最大值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分别求出其最小值后得出结论．
23．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）函数，当时，，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】当时，，不合题意；若，当时，可证得，，满足题意.
【详解】，当时，由，有.
，时，；时，.
，时，；时，.
则当时，不满足.
若， ，
设，，
解得，解得，在上单调递减，在上单调递增，
则，∴当时，，有，可得
所以若，当时，
若，
设，，
解得，解得，在上单调递减，在上单调递增，
，
所以若，.
综上可得：若，当时，恒成立.
则的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
24．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则的最小值是_________．
【答案】##
【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出的关系，再利用导数求出函数的最值作答.
【详解】，
令函数，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，
即，，于是，即，
当且仅当，即时取等号，依题意，，，
令，求导得，当时，，当时，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
25．（2023·福建泉州·统考三模）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可.
【详解】有两个零点
有两个根，即图像有两个交点；

①时，设，
若有两个交点，则；
②时，只有一个交点；
③时，设，
若有两个交点，
综上可得，实数a的取值范围为
故答案为：
26．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______．
【答案】
【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．
【详解】解：作出的函数图象如图所示：
∵存在实数，满足，
，
，
由图可知，，
，
设，其中，
，显然在单调递增，
，
，，
在单调递增，
在的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．

27．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.（其中）
【答案】
【分析】根据题意，将式子变形为，结合，即可得到结果.
【详解】关于的不等式有解，则有解，
设，则，
当时，，当时，；
所以在上递减，在上递增，
所以，即，
又，
当时（与显然在有交点，故此方程有解），等号成立，
所以.
故答案为:
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将改写成，再利用常见不等式放缩得到.
28．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】将不等式转化为，构造函数，研究函数单调性，将问题转化为恒成立，再运用分离参数法求最值即可.
【详解】因为，所以，.
即.
令，易知在上单调递增，
又，
所以恒成立，即恒成立.
所以.
令，，则，，
由，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】同构法的三种基本模式：
①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；
②比商型，如可以同构成，进而构造函数；
③和差型，如，同构后可以构造函数或.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略：
（1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（2）恒成立；恒成立；
能成立；能成立.
29．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在处取得极大值，则实数a的范围是______．
【答案】
【分析】由题可得，又令，
可得，易得，不合题意.令，可得，后通过讨论与0的大小，利用导数研究的单调性与正负性，从而可得在处的极值情况.
【详解】，可得，
令，则．
①当时，在上单调递增.
又，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意；
②当时，，令，
解得在上单调递增.
又，.
可得当时，，从而在上单调递减；
当时，，从而，在上单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意；
③当时，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，所以，从而，
所以在上单调递减，不合题意；
④当时，，令，
解得在上单调递减.
又,故当时，，
从而在上单调递增，
当时，，从而在上单调递减．
所以在处取得极大值，符合题意.
综上，实数a的范围为．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题涉及函数极值点，难度较大，涉及相关结论如下：
若在处取极大值，则；
若在处取极小值，则.
30．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.