江西省湖口中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份江西省湖口中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．复数的实部为，且，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．若是第四象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（ ）
A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱
B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面
C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
4．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（ ）
A．9B．8C．5D．4
5．在中，点在边上，且满足，则的大小为
A．B．C．D．
6．下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
8．设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．与垂直的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列命题中错误的是（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数，满足，则
C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数，则
11．下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．在中，若，则是直角三角形
D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（ ）

A．B．C．D．
三、填空题（共20分）
13．若函数，，则______.
14．设函数，则________.
15．已知向量满足，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.
①若，则的最小值为；
②若，则存在唯一的，使得；
③若，则的最小值为；
④若，则的最小值为.
16．已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则________．
四、解答题（共70分）
17．已知．
（1）化简；
（2）若 是第三象限角，且，求的值．
18．已知复数.
(1)当实数为何值时，复数为纯虚数；
(2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限.
19．设向量的坐标为.
（1）若，求的值；
（2）若函数，求的对称轴方程和的值.
20．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．
(1)求△ABC面积的最大值；
(2)若，求的取值范围．
21．在三角形中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，.
（1）若，，平分角A交于D，求的长；
（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求边上的高.
22．已知函数的图象过点，，．
（1）求，的值；
（2）若，且，求的值；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．C
设复数
所以，解得
故选：C
2．C
因为是第四象限角，所以,
所以，所以，
所以是第三象限角.
故选：C
3．D
对于A，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；
对于B，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B正确；
对于C，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；
对于D，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D错误．
故选：D．
4．C
∵，，
∴，，
∴．
∵为锐角三角形，∴，∴．而，∴．
由余弦定理可得，∴，∴，
则．
故选：C
5．C
设，
因为，所以，
因为，，
，，
，化简得，
又因为，
所以有，
解得，又因为，所以，
故选：C.
6．B
对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B
7．A
因为中，，所以与的夹角为，由数量积的定义可得
故选A
8．B
因为对任意，都存在，使得成立，
所以，即，
因为，，所以，
若对任意，都存在，使得成立，
得，只需，即可，
因为，则，
对于A：当时，，则，因为，
所以的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确；
对于C：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故C错误；
对于D：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故D错误；
故选：B
9．CD
解：设所求的向量为，
由题意可得，
解之可得，或
故选：CD．
10．ABC
当时满足，A错；
当，时满足，但，B错；
复数，当且时，复数z为实数，不是纯虚数，C错；
令，，，，
当时，即，，，则成立，D正确．
故选：ABC
11．ABC
对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.
对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.
对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.
对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.
故选：ABC
12．AD
A选项，由题意可知，
故，故，A正确；
B选项，
，B错误；
C选项，
，故不垂直，C错误；
D选项，
，D正确.
故选：AD
13．
，
在函数中，，可得的定义域为，
在函数中，，可得的定义域为，
则的定义域为，
故，.
14．0
∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015)
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)

故答案为：0.
15．①②③④
(1)若 ， ，
，当 时取得最小值，所以 ①正确；
(2)若 ，， ，解得 ，故②正确；
(3) ，若，，
，令 ，
， ，所以③正确；
(4) ， 若 ， 时，由(3)知④正确.
故答案为：①②③④
16．
因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以
.
故答案为：
17．(1)；(2).
（1）
．
（2）∵,
∴，
又为第三象限角，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
（1）复数
复数为纯虚数, ，解得
∴时，为纯虚数．
（2）复数表示的点位于第四象限，可得，解得，
当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴m的取值范围为
19．（1）或；（2）对称轴方程为，
解:（1）,
,
∴①时,；
②时,,
,
或,
,
综上得,或
（2）
,
令,,解得,
所以的对称轴方程为,
所以
20．(1)
(2)
（1）由题意可得：，
整理得，
由正弦定理可得：，所以为直角三角形且，
又因为，当且仅当时，等号成立，
则，则，
所以△ABC面积，即△ABC面积的最大值为．
（2）由题意可知，所以，
因为，设，
则，
令，
因为，则，
可得，故，
又因为，可得，
所以，
构建，
则在上单调递增，且，
可得在上单调递减，所以，
故的取值范围为．
21．（1）；（2）.
（1）因为
在三角形中，由正弦定理得，，
因为，，
所以；
（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
，
设BC边上的高为h，
因为，，所以，
所以.
22．(1) ； (2) ；(3)
（1）由得：，即，
由知，，
，
由得：，即，
即，由得，，所以；
（2）由得：，即，
由得：，
（3）由得：，
当时，，
实数的取值范围为.